1. Отрезок АВ является отрезком касательной к окружности с центром О, где В — точка касания. Найдите длину отрезка АВ, если ∠AOB = 45°, а радиус окружности 10 см.

Решение:

Отрезок OB является радиусом окружности, проведенным в точку касания В. Следовательно, OB перпендикулярен касательной АВ, то есть \( \angle OBA = 90^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle OBA \) имеем:

• \( OB = 10 \) см (радиус окружности).
• \( \angle AOB = 45^{\circ} \).

Так как \( \angle OBA = 90^{\circ} \) и \( \angle AOB = 45^{\circ} \), то \( \angle OAB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).

Следовательно, \( \triangle OBA \) — равнобедренный прямоугольный треугольник с \( OB = AB \).

Используем теорему Пифагора:

\[ OA^2 = OB^2 + AB^2 \]

Поскольку \( OB = AB \), то:

\[ OA^2 = OB^2 + OB^2 = 2 \cdot OB^2 \]

\[ OA = OB \(\sqrt{2}\) = 10 \(\sqrt{2}\) \) см.

Так как \( OB = AB \), то \( AB = 10 \) см.

Ответ: 10 см.