1. Отрезок AB является отрезком касательной к окружности с центром О, где B — точка касания. Найдите длину отрезка AB, если \angle AOB = 45°, а диаметр окружности равен 22 см. 2. Из точки A проведены две касательные AB и AC к окружности с центром О. В и С — точки касания. Докажите, что AB = AC.

Решение:

• 1. Нахождение длины отрезка AB:
  1. Диаметр окружности равен 22 см, следовательно, радиус \( r = 22 : 2 = 11 \) см.
  2. Отрезок OB является радиусом, проведенным в точку касания B, поэтому OB перпендикулярен касательной AB. Угол ABO равен 90°.
  3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO. Угол AOB = 45°.
  4. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, найдем угол OAB: \( \angle OAB = 180° - 90° - 45° = 45° \).
  5. Поскольку углы OAB и AOB равны, треугольник ABO является равнобедренным с равными сторонами OB и AB.
  6. Следовательно, \( AB = OB = r = 11 \) см.
• 2. Доказательство равенства касательных AB и AC:
  1. Рассмотрим треугольники ABO и ACO.
  2. OB и OC — радиусы окружности, проведенные в точки касания, значит, \( OB = OC \).
  3. AO — общая сторона для обоих треугольников.
  4. OB перпендикулярен AB (так как AB — касательная), значит, \( \angle ABO = 90° \).
  5. OC перпендикулярен AC (так как AC — касательная), значит, \( \angle ACO = 90° \).
  6. Таким образом, треугольники ABO и ACO являются прямоугольными.
  7. По двум катетам и гипотенузе (катет OB = OC, гипотенуза AO — общая), треугольники ABO и ACO равны (по теореме Пифагора, \( AB = \sqrt{AO^2 - OB^2} \) и \( AC = \sqrt{AO^2 - OC^2} \), так как \( OB=OC \) то \( AB=AC \)).
  8. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \( AB = AC \).

Ответ:

• 1. Длина отрезка AB равна 11 см.
• 2. Доказано, что AB = AC, так как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.