1) Основание AD трапеции ABCD в 3 раза больше основания BC. На стороне AD отмечена такая точка K, что AK = 1/3 AD. Выразите векторы CK, KD и BC через векторы a = BA и b = CD.

Обозначим \(\overrightarrow{BC}=\vec{x}\). Так как основания трапеции параллельны и направлены одинаково, \(\overrightarrow{AD}=3\vec{x}\).

По правилу сложения векторов для обхода A→B→C→D:

\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=-\vec{a}+\vec{x}-\vec{b}\).

Приравниваем выражения для \(\overrightarrow{AD}\): \(3\vec{x}=-\vec{a}+\vec{x}-\vec{b}\), поэтому \(2\vec{x}=-(\vec{a}+\vec{b})\), откуда \(\vec{x}=-\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})\).

Так как \(AK=\frac{1}{3}AD\), то \(KD=\frac{2}{3}AD=2\overrightarrow{BC}=-(\vec{a}+\vec{b})\).

Наконец, \(\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DK}=\vec{b}-\overrightarrow{KD}=\vec{a}+2\vec{b}\).

Ответ: \(\overrightarrow{CK}=\vec{a}+2\vec{b},\quad \overrightarrow{KD}=-(\vec{a}+\vec{b}),\quad \overrightarrow{BC}=-\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})\).