№1. Осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник, образующая конуса равна 3√2 см. Найдите объём и площадь поверхности конуса.

Решение:

Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник. Это значит, что угол при вершине конуса равен 90°.

Если образующая равна \( l = 3\sqrt{2} \) см, то в прямоугольном треугольнике (осевом сечении) катеты равны радиусу основания \( r \), а гипотенуза — образующей \( l \). Так как треугольник прямоугольный, то \( r = l \).

\( r = 3\sqrt{2} \) см.

Высота конуса \( h \) в таком случае равна радиусу: \( h = r = 3\sqrt{2} \) см.

1. Объём конуса:

Формула объёма конуса: \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \).

Подставляем значения:

\( V = \frac{1}{3} \pi (3\sqrt{2})^2 (3\sqrt{2}) = \frac{1}{3} \pi (9 \cdot 2) (3\sqrt{2}) = \frac{1}{3} \pi (18) (3\sqrt{2}) = 6\pi (3\sqrt{2}) = 18\sqrt{2}\pi \) см³.

2. Площадь поверхности конуса:

Формула площади полной поверхности конуса: \( S = \pi r (r + l) \).

Подставляем значения:

\( S = \pi (3\sqrt{2}) (3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}) = \pi (3\sqrt{2}) (6\sqrt{2}) = 18 \cdot 2 \pi = 36\pi \) см².

Ответ: Объём конуса \( V = 18\sqrt{2}\pi \) см³, площадь поверхности \( S = 36\pi \) см².