1. Определение и свойство вертикальных углов (формулировка). 2. Доказать теорему о сумме углов треугольника. 3. Доказать: AD = BC. 4. Одна из сторон равнобедренного треугольника на 3 см. больше другой стороны. Найдите стороны этого треугольника, если периметр равен 24 см. Сколько решений имеет задача?

Билет 4.

1. Определение и свойство вертикальных углов:

Вертикальные углы — это углы, которые образуются при пересечении двух прямых и имеют только одну общую вершину.

Свойство: Вертикальные углы равны.

2. Теорема о сумме углов треугольника:

Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство:

Пусть дан треугольник ABC. Проведём через вершину B прямую DE, параллельную стороне AC.

• Угол ABD равен углу BAC как накрест лежащие при параллельных прямых DE и AC и секущей AB.


• Угол CBE равен углу BCA как накрест лежащие при параллельных прямых DE и AC и секущей BC.


• Угол ABC — общий угол треугольника.


• Угол ABD + угол ABC + угол CBE = 180° (как смежные углы, образующие развёрнутый угол DE).


• Заменяя углы ABD и CBE на равные им углы BAC и BCA, получаем: угол BAC + угол ABC + угол BCA = 180°.

3. Доказать: AD = BC.

Для доказательства AD = BC необходимо дополнительное условие или изображение, которое отсутствует.

4. Решение задачи о равнобедренном треугольнике:

Пусть стороны равнобедренного треугольника равны x, x и y.

По условию, одна сторона на 3 см больше другой. Возможны два случая:

Случай 1: Боковая сторона больше основания на 3 см. \( x = y + 3 \).

Периметр: \( x + x + y = 24 \)

\( 2x + y = 24 \)

Подставим \( x = y + 3 \):

\( 2(y + 3) + y = 24 \)

\( 2y + 6 + y = 24 \)

\( 3y = 18 \)

\( y = 6 \) см

\( x = 6 + 3 = 9 \) см

Стороны: 9 см, 9 см, 6 см. Проверка неравенства треугольника: \( 6 + 9 > 9 \) (верно).

Случай 2: Основание больше боковой стороны на 3 см. \( y = x + 3 \).

Периметр: \( x + x + y = 24 \)

\( 2x + y = 24 \)

Подставим \( y = x + 3 \):

\( 2x + (x + 3) = 24 \)

\( 3x + 3 = 24 \)

\( 3x = 21 \)

\( x = 7 \) см

\( y = 7 + 3 = 10 \) см

Стороны: 7 см, 7 см, 10 см. Проверка неравенства треугольника: \( 7 + 7 > 10 \) (верно).

Ответ: Задача имеет два решения: 9 см, 9 см, 6 см и 7 см, 7 см, 10 см.