1) Определение и свойства параллелограмма.п.43 2) Доказать свойство медиан треугольника п.64(задача 1)

1) Определение и свойства параллелограмма:

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны равны: \( AB = CD \) и \( BC = AD \).
2. Противоположные углы равны: \( \angle A = \angle C \) и \( \angle B = \angle D \).
3. Сумма углов, прилежащих к любой стороне, равна 180°: \( \angle A + \angle B = 180° \), \( \angle B + \angle C = 180° \) и т.д.
4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам: \( AO = OC \) и \( BO = OD \).
5. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон: \( d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2) \), где \( d_1, d_2 \) — диагонали, \( a, b \) — стороны.

Признаки параллелограмма:

1. Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
2. Если противоположные углы четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
4. Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Источник: учебник, страница 43.

2) Доказать свойство медиан треугольника:

Свойство медиан треугольника: Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство:

Пусть \( AM_a \), \( BM_b \) и \( CM_c \) — медианы треугольника \( ABC \). Они пересекаются в точке \( O \).

1. Рассмотрим \( \triangle ABC \) и медианы \( AM_a \) и \( BM_b \). Пусть \( O \) — точка их пересечения.
2. Пусть \( M_c \) — середина \( AB \). В \( \triangle ABM_a \) отрезок \( MO \) параллелен \( AM_a \) (по свойству средней линии), и \( MO = \frac{1}{2} AM_a \).
3. Аналогично, в \( \triangle BAM_b \) отрезок \( MO \) параллелен \( BM_b \) и \( MO = \frac{1}{2} BM_b \).
4. Из этого следует, что \( AO:OM_a = 2:1 \) и \( BO:OM_b = 2:1 \).
5. Третья медиана \( CM_c \), проведённая из вершины \( C \) к середине стороны \( AB \), должна также проходить через точку \( O \), делящую \( AM_a \) и \( BM_b \) в отношении 2:1.
6. Таким образом, все три медианы пересекаются в одной точке \( O \), которая делит каждую медиану в отношении 2:1 от вершины.

Источник: учебник, страница 64, задача 1.