1. Непрямой путь. Печатающая головка 3D-принтера может перемещаться внутри квадратной рабочей области ABCD со стороной L = 10 см. Кажущееся непрерывным движение является последовательностью маленьких шагов длиной l = 0,1 мм, что является размером пикселя принтера. За раз головка может смещаться либо на один шаг вдоль стороны AB (ось x), либо на один шаг вдоль стороны AD (ось y). Малость шагов создаёт иллюзию, что головка перемещается с постоянной скоростью v = 10 мм/с. Определите: 1) за какое минимальное время t_AB головка может переместиться из точки A в точку B рабочей области; 2) за какое минимальное время t_AC головка может переместиться из точки A в точку C рабочей области; 3) за какое минимальное время t₀ головка принтера сможет пройти через все пиксели рабочей области. Печатающая головка принтера находится в точке O. Известно, что из точки O в точку A она может переместиться за минимальное время t_AO = 5 с, из точки O в точку D — за минимальное время t_DO = 7 с. 4) Определите координаты точки O. Ответ запишите в см.

1) Сторона квадрата равна 10 см = 100 мм. Между A и B нужно пройти 100 мм вдоль одной оси:

\(t_{AB}=\frac{100\text{ мм}}{10\text{ мм/с}}=10\text{ с}.\)

2) Из A в C минимальный путь состоит из двух сторон квадрата: \(100+100=200\) мм. Поскольку разрешены только шаги вдоль осей, диагональный путь короче по времени невозможен.

\(t_{AC}=\frac{200\text{ мм}}{10\text{ мм/с}}=20\text{ с}.\)

3) Число шагов вдоль каждой стороны: \(100\text{ мм}/0.1\text{ мм}=1000\). Значит, в рабочей области расположена сетка из \(1001\times1001\) пиксельных позиций. Можно пройти их все «змейкой»: по каждой из 1001 строк пройти 1000 шагов, а между соседними строками сделать по одному шагу; всего 1000 переходов между строками.

Общее число шагов: \(1001\cdot1000+1000=1002000\). Этот маршрут проходит по рёбрам сетки без повторов, поэтому короче пройти через все позиции нельзя: связный маршрут, охватывающий все вершины сетки, должен содержать не менее \(1002000\) шагов.

Время одного шага: \(0.1\text{ мм}/(10\text{ мм/с})=0.01\text{ с}\). Тогда \(t_0=1002000\cdot0.01=10020\text{ с}\).

4) Введём координаты \(O=(x;y)\), где начало координат — A, ось x направлена вдоль AB, ось y — вдоль AD. Скорость постоянна, поэтому расстояния от O до A и D равны соответственно \(10\cdot5=50\) мм = 5 см и \(10\cdot7=70\) мм = 7 см.

Из \(OA=5\) получаем \(x^2+y^2=25\). Так как \(D=(0;10)\), из \(OD=7\) получаем \(x^2+(10-y)^2=49\). Вычитая первое равенство из второго, находим \(100-20y=24\), откуда \(y=3.8\) см.

Тогда \(x^2=25-3.8^2=10.56\), и, поскольку точка O находится внутри квадрата, \(x=\sqrt{10.56}\approx3.25\) см.

Ответ: 1) 10 с; 2) 20 с; 3) 10020 с; 4) \(O=(\sqrt{10.56};\,3.8)\text{ см}\approx(3.25;\,3.8)\text{ см}\).