1. Найти стационарные точки функции: f(x) = 5x³ - 22,5x² - 60x + 4

Привет! Давай разберемся с этой задачей по математике.

Что такое стационарные точки?

Стационарные точки функции — это точки, в которых первая производная функции равна нулю или не существует. В этих точках функция может менять свое направление роста или убывания, что часто соответствует локальным максимумам или минимумам.

Шаг 1: Находим первую производную функции.

Наша функция: f(x) = 5x³ - 22,5x² - 60x + 4

Производная от 5x³ равна 5 * 3x² = 15x².

Производная от -22,5x² равна -22,5 * 2x = -45x.

Производная от -60x равна -60.

Производная от константы +4 равна 0.

Итак, первая производная f'(x):

\[ f'(x) = 15x^2 - 45x - 60 \]

Шаг 2: Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение.

Чтобы найти стационарные точки, нужно решить уравнение f'(x) = 0:

\[ 15x^2 - 45x - 60 = 0 \]

Можно упростить уравнение, разделив все члены на 15:

\[ x^2 - 3x - 4 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Мы можем решить его, например, с помощью дискриминанта или теоремы Виета.

Решение через дискриминант:

D = b² - 4ac, где a = 1, b = -3, c = -4.

\[ D = (-3)^2 - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25 \]

√D = √25 = 5.

Теперь находим корни:

\[ x_1 = rac{-b + ext{√D}}{2a} = rac{-(-3) + 5}{2 * 1} = rac{3 + 5}{2} = rac{8}{2} = 4 \]

\[ x_2 = rac{-b - ext{√D}}{2a} = rac{-(-3) - 5}{2 * 1} = rac{3 - 5}{2} = rac{-2}{2} = -1 \]

Решение через теорему Виета:

Для уравнения x² + px + q = 0, сумма корней x₁ + x₂ = -p, а произведение корней x₁ * x₂ = q.

В нашем случае: x₁ + x₂ = -(-3) = 3 и x₁ * x₂ = -4.

Подбираем числа: 4 + (-1) = 3 и 4 * (-1) = -4. Значит, корни 4 и -1.

Шаг 3: Вычисляем значения функции в найденных точках (если нужно найти сами точки, а не только x-координаты).

Для x₁ = 4:

\[ f(4) = 5(4)³ - 22,5(4)² - 60(4) + 4 \]

\[ f(4) = 5(64) - 22,5(16) - 240 + 4 \]

\[ f(4) = 320 - 360 - 240 + 4 \]

\[ f(4) = -40 - 240 + 4 = -280 + 4 = -276 \]

Для x₂ = -1:

\[ f(-1) = 5(-1)³ - 22,5(-1)² - 60(-1) + 4 \]

\[ f(-1) = 5(-1) - 22,5(1) + 60 + 4 \]

\[ f(-1) = -5 - 22,5 + 60 + 4 \]

\[ f(-1) = -27,5 + 64 = 36,5 \]

Ответ:

Стационарные точки имеют x-координаты: 4 и -1.

Если нужны полные координаты точек, то это (4; -276) и (-1; 36,5).