1. Найти производную a) y = x+3 3x+2 6) y= sin6x 2. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = (2x-3)√х в точке х = 9. 3. Исследовать функцию y = x/3 + 3/x на монотонность 4. Составить уравнение касательной к графику функции f(x)=-x²+3x-1 в точке х = -3. 5. Найти неопределённый интеграл: a) ∫(12x²-6x+1)dx 6) ∫(9t²-1)/(3t+1) dt 6. Найти неопределённый интеграл енособом подстановки: ∫ xdx / (x²+2) 7. Вычислить определённый интеграл: ∫(π/6 to π) cos xdx. 8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y=0,5x²+2, x=1, x=3, y=0 9. Решить уравнение: a) 822x=4 6) log, x - log,x-6=0 10. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке А1, а сторону ВС- в точке В1. Найдите длину А, В1, если АВ=15 см, AA:AC=2:3. 10). Найти площадь полной поверхности куба, с ребром 3 см.

Question

Вопрос:

1. Найти производную a) y = x+3 3x+2 6) y= sin6x 2. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = (2x-3)√х в точке х = 9. 3. Исследовать функцию y = x/3 + 3/x на монотонность 4. Составить уравнение касательной к графику функции f(x)=-x²+3x-1 в точке х = -3. 5. Найти неопределённый интеграл: a) ∫(12x²-6x+1)dx 6) ∫(9t²-1)/(3t+1) dt 6. Найти неопределённый интеграл енособом подстановки: ∫ xdx / (x²+2) 7. Вычислить определённый интеграл: ∫(π/6 to π) cos xdx. 8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y=0,5x²+2, x=1, x=3, y=0 9. Решить уравнение: a) 822x=4 6) log, x - log,x-6=0 10. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке А1, а сторону ВС- в точке В1. Найдите длину А, В1, если АВ=15 см, AA:AC=2:3. 10). Найти площадь полной поверхности куба, с ребром 3 см.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

ГДЗ по фото 📸

Accepted Answer

1. Найти производную

a) y = (x+3)/(3x+2)
Чтобы найти производную, будем использовать правило частного: $$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$.
Пусть $$u = x+3$$, тогда $$u' = 1$$.
Пусть $$v = 3x+2$$, тогда $$v' = 3$$.
\[ y' = \frac{1 \cdot (3x+2) - (x+3) \cdot 3}{(3x+2)^2} = \frac{3x+2 - 3x-9}{(3x+2)^2} = \frac{-7}{(3x+2)^2} \]
б) y = sin(6x)
Используем правило производной сложной функции: $$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$.
Производная синуса: $$(\sin(u))' = \cos(u)$$.
Производная $$6x$$: $$(6x)' = 6$$.
\[ y' = \cos(6x) \cdot 6 = 6\cos(6x) \]

2. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции $$f(x) = (2x-3)\sqrt{x}$$ в точке $$x_0 = 9$$.

Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в данной точке. Сначала найдем производную $$f'(x)$$.

Представим $$\sqrt{x}$$ как $$x^{1/2}$$.

$$f(x) = (2x-3)x^{1/2} = 2x^{3/2} - 3x^{1/2}$$.

Теперь найдем производную:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^{3/2} - 3x^{1/2}) = 2 \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} - 3 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = 3x^{1/2} - \frac{3}{2} x^{-1/2} = 3\sqrt{x} - \frac{3}{2\sqrt{x}} \]

Теперь подставим $$x_0 = 9$$:

\[ f'(9) = 3\sqrt{9} - \frac{3}{2\sqrt{9}} = 3 \cdot 3 - \frac{3}{2 \cdot 3} = 9 - \frac{3}{6} = 9 - \frac{1}{2} = 8.5 \]

Ответ: 8.5

3. Исследовать функцию $$y = \frac{x}{3} + \frac{3}{x}$$ на монотонность

Чтобы исследовать функцию на монотонность, найдем ее производную и определим знаки на интервалах.

\[ y' = \frac{d}{dx}(\frac{x}{3} + \frac{3}{x}) = \frac{1}{3} + 3 \cdot (-x^{-2}) = \frac{1}{3} - \frac{3}{x^2} \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ \frac{1}{3} - \frac{3}{x^2} = 0 \]

\[ \frac{1}{3} = \frac{3}{x^2} \]

\[ x^2 = 9 \]

\[ x = \pm 3 \]

Теперь определим знаки производной на интервалах $$(-\infty, -3)$$, $$(-3, 0)$$, $$(0, 3)$$, $$(3, \infty)$$. Функция не определена в $$x=0$$.

На интервале $$(-\infty, -3)$$: Возьмем $$x = -4$$. $$y' = \frac{1}{3} - \frac{3}{(-4)^2} = \frac{1}{3} - \frac{3}{16} = \frac{16-9}{48} = \frac{7}{48} > 0$$. Функция возрастает.
На интервале $$(-3, 0)$$: Возьмем $$x = -1$$. $$y' = \frac{1}{3} - \frac{3}{(-1)^2} = \frac{1}{3} - 3 = \frac{1-9}{3} = -\frac{8}{3} < 0$$. Функция убывает.
На интервале $$(0, 3)$$: Возьмем $$x = 1$$. $$y' = \frac{1}{3} - \frac{3}{1^2} = \frac{1}{3} - 3 = -\frac{8}{3} < 0$$. Функция убывает.
На интервале $$(3, \infty)$$: Возьмем $$x = 4$$. $$y' = \frac{1}{3} - \frac{3}{4^2} = \frac{1}{3} - \frac{3}{16} = \frac{7}{48} > 0$$. Функция возрастает.

Вывод: Функция возрастает на интервалах $$(-\infty, -3)$$ и $$(3, \infty)$$, убывает на интервалах $$(-3, 0)$$ и $$(0, 3)$$.

4. Составить уравнение касательной к графику функции $$f(x)=-x^2+3x-1$$ в точке $$x_0 = -3$$.

Уравнение касательной имеет вид $$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$$.

Сначала найдем значение функции в точке $$x_0 = -3$$:

\[ f(-3) = -(-3)^2 + 3(-3) - 1 = -(9) - 9 - 1 = -19 \]

Теперь найдем производную функции:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^2+3x-1) = -2x + 3 \]

Найдем значение производной в точке $$x_0 = -3$$:

\[ f'(-3) = -2(-3) + 3 = 6 + 3 = 9 \]

Теперь подставим значения в уравнение касательной:

\[ y - (-19) = 9(x - (-3)) \]

\[ y + 19 = 9(x + 3) \]

\[ y + 19 = 9x + 27 \]

\[ y = 9x + 27 - 19 \]

\[ y = 9x + 8 \]

Ответ: $$y = 9x + 8$$

5. Найти неопределённый интеграл:

a) $$\int (12x^2-6x+1)dx$$
Используем правило интегрирования степенной функции: $$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$.
\[ \int (12x^2-6x+1)dx = 12 \int x^2 dx - 6 \int x dx + \int 1 dx \]
\[ = 12 \cdot \frac{x^3}{3} - 6 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C \]
\[ = 4x^3 - 3x^2 + x + C \]
б) $$\int \frac{9t^2-1}{3t+1} dt$$
Заметим, что числитель является разностью квадратов: $$9t^2 - 1 = (3t)^2 - 1^2 = (3t-1)(3t+1)$$.
Сократим дробь:
\[ \int \frac{(3t-1)(3t+1)}{3t+1} dt = \int (3t-1) dt \]
Теперь проинтегрируем:
\[ \int (3t-1) dt = 3 \int t dt - \int 1 dt = 3 \cdot \frac{t^2}{2} - t + C \]
\[ = \frac{3}{2}t^2 - t + C \]

6. Найти неопределённый интеграл способом подстановки: $$\int \frac{xdx}{x^2+2}$$

Пусть $$u = x^2+2$$. Тогда $$du = 2xdx$$, что означает $$xdx = \frac{1}{2}du$$.

Подставим в интеграл:

\[ \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du \]

Интеграл от $$\frac{1}{u}$$ равен $$\ln|u|$$.

\[ = \frac{1}{2} \ln|u| + C \]

Вернемся к $$x$$:

\[ = \frac{1}{2} \ln|x^2+2| + C \]

Поскольку $$x^2+2$$ всегда положительно, модуль можно убрать: $$\frac{1}{2} \ln(x^2+2) + C$$.

Ответ: $$\frac{1}{2} \ln(x^2+2) + C$$

7. Вычислить определённый интеграл: $$\int_{\pi/6}^{\pi} \cos x dx$$

Сначала найдем первообразную для $$\cos x$$, которая равна $$\sin x$$.

Теперь вычислим разность значений первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования:

\[ \int_{\pi/6}^{\pi} \cos x dx = [\sin x]_{\pi/6}^{\pi} = \sin(\pi) - \sin(\frac{\pi}{6}) \]

\[ = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \]

Ответ: $$-1/2$$

8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: $$y=0,5x^2+2$$, $$x=1$$, $$x=3$$, $$y=0$$

Площадь фигуры, ограниченной кривой $$y=f(x)$$, осью $$Ox$$ и прямыми $$x=a$$, $$x=b$$, вычисляется по формуле: $$S = \int_{a}^{b} f(x) dx$$.

В данном случае $$f(x) = 0.5x^2+2$$, $$a=1$$, $$b=3$$. Функция $$y=0.5x^2+2$$ всегда положительна на заданном интервале, поэтому площадь равна:

\[ S = \int_{1}^{3} (0.5x^2+2) dx \]

Найдем первообразную:

\[ \int (0.5x^2+2) dx = 0.5 \cdot \frac{x^3}{3} + 2x = \frac{x^3}{6} + 2x \]

Вычислим определенный интеграл:

\[ S = [\frac{x^3}{6} + 2x]_{1}^{3} = (\frac{3^3}{6} + 2\cdot3) - (\frac{1^3}{6} + 2\cdot1) \]

\[ S = (\frac{27}{6} + 6) - (\frac{1}{6} + 2) = (4.5 + 6) - (\frac{1}{6} + 2) = 10.5 - 2 - \frac{1}{6} = 8.5 - \frac{1}{6} \]

\[ S = \frac{17}{2} - \frac{1}{6} = \frac{51-1}{6} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3} \]

Ответ: $$25/3$$

9. Решить уравнение:

a) $$8 \cdot 2^x \cdot 2^x = 4$$
$$8 \cdot (2^x)^2 = 4$$
$$(2^x)^2 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$
$$2^{2x} = 2^{-1}$$
Приравниваем показатели степеней:
$$2x = -1$$
$$x = -1/2$$
б) $$\log_4 x - \log_4 x - 6 = 0$$
Здесь, вероятно, опечатка и должно быть $$\log_4 x - \log_2 x - 6 = 0$$ или что-то подобное, так как $$\log_4 x - \log_4 x$$ равно 0.
Если предположить, что это $$\log_4 x - \log_2 x - 6 = 0$$:
Переведем $$\log_2 x$$ к основанию 4:
$$\log_2 x = \frac{\log_4 x}{\log_4 2} = \frac{\log_4 x}{1/2} = 2\log_4 x$$.
Подставим в уравнение:
$$\log_4 x - 2\log_4 x - 6 = 0$$
$$-\log_4 x - 6 = 0$$
$$-\log_4 x = 6$$
$$\log_4 x = -6$$
$$x = 4^{-6} = (2^2)^{-6} = 2^{-12} = \frac{1}{2^{12}} = \frac{1}{4096}$$
Ответ: $$x = -1/2$$ (для а), $$x = 1/4096$$ (для б, при условии исправления)

10. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке А1, а сторону ВС- в точке В1. Найдите длину А1В1, если АВ=15 см, AA1:AC=2:3.

По условию, плоскость параллельна АВ и пересекает стороны АС и ВС. Это означает, что линия пересечения плоскости с плоскостью треугольника (т.е. отрезок А1В1) будет параллельна АВ.

Таким образом, треугольник $$A_1B_1C$$ подобен треугольнику $$ABC$$ по двум углам (угол С общий, и соответственные углы при параллельных прямых $$A_1B_1 || AB$$).

Отношение подобия $$k$$ равно отношению соответствующих сторон. Нам дано $$AA_1:AC = 2:3$$.

Пусть $$AC = 3x$$, тогда $$AA_1 = 2x$$. Следовательно, $$A_1C = AC - AA_1 = 3x - 2x = x$$.

Отношение $$A_1C$$ к $$AC$$ равно $$\frac{x}{3x} = \frac{1}{3}$$.

Это означает, что коэффициент подобия $$k = \frac{A_1C}{AC} = \frac{1}{3}$$.

Тогда отношение $$A_1B_1$$ к $$AB$$ также равно $$1/3$$:

$$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{1}{3}$$

$$A_1B_1 = \frac{1}{3} AB = \frac{1}{3} \cdot 15$$ см

$$A_1B_1 = 5$$ см

Ответ: 5 см

10). Найти площадь полной поверхности куба, с ребром 3 см.

Куб имеет 6 одинаковых граней, каждая из которых является квадратом.

Площадь одной грани (квадрата) равна $$a^2$$, где $$a$$ - длина ребра.

Площадь одной грани = $$3^2 = 9$$ см$$^2$$.

Площадь полной поверхности куба равна сумме площадей всех 6 граней:

Площадь полной поверхности = $$6 \times (\text{площадь одной грани})$$

Площадь полной поверхности = $$6 \times 9$$ см$$^2 = 54$$ см$$^2$$.

Ответ: 54 см$$^2$$