1. Найти производную:

Решение:

Для нахождения производной будем использовать основные правила дифференцирования:

• Производная степенной функции \( (x^n)' = nx^{n-1} \)
• Производная константы равна нулю: \( (C)' = 0 \)
• Производная суммы/разности функций равна сумме/разности их производных: \( (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x) \)
• Производная произведения функции на константу: \( (C · f(x))' = C · f'(x) \)
• Производная синуса: \( (Sin(x))' = Sos(x) \)
• Производная натурального логарифма: \( (n(x))' = \frac{1}{x} \)
• Производная частного: \( \cdotf(x)/g(x)\cdot' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \)

а) \( 7x^3 - 2x^7 \)

Находим производную по каждому члену:

\[ (7x^3 - 2x^7)' = 7(x^3)' - 2(x^7)' = 7(3x^{3-1}) - 2(7x^{7-1}) = 21x^2 - 14x^6 \]

б) \( 4x^2 - 3x + 5Sin(x) \)

Находим производную по каждому члену:

\[ (4x^2 - 3x + 5Sin(x))' = 4(x^2)' - 3(x)' + 5(Sin(x))' = 4(2x^{2-1}) - 3(1x^{1-1}) + 5(Sos(x)) = 8x - 3 + 5Sos(x) \]

в) \( (2x^2 + n(x))(4 + x) \)

Здесь нужно использовать правило производной произведения:

\[ ((2x^2 + n(x))(4 + x))' = (2x^2 + n(x))'(4 + x) + (2x^2 + n(x))(4 + x)' \]\[ = (4x + \cdot1/x\cdot)(4 + x) + (2x^2 + n(x))(1) \]\[ = 16x + 4x^2 + 4/x + 1 + 2x^2 + n(x) \]\[ = 6x^2 + 16x + 1 + 4/x + n(x) \]

г) \( \cdotx^2 - 1\cdot / x \)

Используем правило производной частного:

\[ (\cdotx^2 - 1\cdot / x)' = \cdot(x^2 - 1)' · x - (x^2 - 1) · x'\cdot / x^2 \]\[ = \cdot(2x) · x - (x^2 - 1) · 1\cdot / x^2 \]\[ = (2x^2 - x^2 + 1) / x^2 \]\[ = (x^2 + 1) / x^2 \]

Ответ:

а) \( 21x^2 - 14x^6 \)

б) \( 8x - 3 + 5Sos(x) \)

в) \( 6x^2 + 16x + 1 + 4/x + n(x) \)

г) \( (x^2 + 1) / x^2 \)