№1. Найдите значение выражения: 1) (√13+√7)^2 / (10+√91) 2) ⁵√10 · ⁵√16 / ⁵√5 3) ³√49 · ⁶√49

Решение:

1. \( \frac{(\sqrt{13}+\sqrt{7})^2}{10+\sqrt{91}} \)
1. Раскроем квадрат суммы в числителе: \( (\sqrt{13}+\sqrt{7})^2 = (\sqrt{13})^2 + 2\sqrt{13}\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 13 + 2\sqrt{91} + 7 = 20 + 2\sqrt{91} \).
2. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{20 + 2\sqrt{91}}{10+\sqrt{91}} \).
3. Вынесем общий множитель 2 из числителя: \( \frac{2(10 + \sqrt{91})}{10+\sqrt{91}} \).
4. Сократим дробь: \( 2 \).
2. \( \frac{\sqrt[5]{10} \cdot \sqrt[5]{16}}{\sqrt[5]{5}} \)
1. Используем свойства корней: \( \frac{\sqrt[5]{10 \cdot 16}}{\sqrt[5]{5}} = \sqrt[5]{\frac{10 · 16}{5}} \).
2. Упростим дробь под корнем: \( \sqrt[5]{\frac{160}{5}} = \sqrt[5]{32} \).
3. Вычислим корень: \( \sqrt[5]{32} = 2 \).
3. \( \sqrt[3]{49} \cdot \sqrt[6]{49} \)
1. Представим 49 как \( 7^2 \): \( \sqrt[3]{7^2} \cdot \sqrt[6]{7^2} \).
2. Переведём корни в степень: \( 7^{2/3} \cdot 7^{2/6} \).
3. Упростим дробь показателя степени: \( 7^{2/3} \cdot 7^{1/3} \).
4. Сложим показатели степеней: \( 7^{2/3 + 1/3} = 7^{3/3} = 7^1 \).
5. Результат: \( 7 \).

Ответ: 1) 2; 2) 2; 3) 7.