1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума: y = -x² + 2x + 3; y = 2x⁴ - x; y = ⅓x³ - 4x;

Решение:

Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума, необходимо найти первую производную каждой функции, приравнять её к нулю, найти критические точки и проанализировать знак производной.

1. Функция: \( y = -x^2 + 2x + 3 \)

1. Находим первую производную: \( y' = -2x + 2 \).
2. Приравниваем производную к нулю: \( -2x + 2 = 0 \) \( → \) \( 2x = 2 \) \( → \) \( x = 1 \).
3. Анализируем знак производной:
   • При \( x < 1 \), \( y' < 0 \) (функция убывает).
   • При \( x > 1 \), \( y' > 0 \) (функция возрастает).
4. Точка \( x = 1 \) является точкой минимума. Значение функции в этой точке: \( y(1) = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 \).

Ответ: Функция убывает на \( (-∞, 1) \), возрастает на \( (1, +∞) \). Точка минимума: \( (1, 4) \).

2. Функция: \( y = 2x^4 - x \)

1. Находим первую производную: \( y' = 8x^3 - 1 \).
2. Приравниваем производную к нулю: \( 8x^3 - 1 = 0 \) \( → \) \( 8x^3 = 1 \) \( → \) \( x^3 = \frac{1}{8} \) \( → \) \( x = \frac{1}{2} \).
3. Анализируем знак производной:
   • При \( x < \frac{1}{2} \), \( y' < 0 \) (функция убывает).
   • При \( x > \frac{1}{2} \), \( y' > 0 \) (функция возрастает).
4. Точка \( x = \frac{1}{2} \) является точкой минимума. Значение функции в этой точке: \( y(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2})^4 - \frac{1}{2} = 2(\frac{1}{16}) - \frac{1}{2} = \frac{1}{8} - \frac{4}{8} = -\frac{3}{8} \).

Ответ: Функция убывает на \( (-∞, \frac{1}{2}) \), возрастает на \( (\frac{1}{2}, +∞) \). Точка минимума: \( (\frac{1}{2}, -\frac{3}{8}) \).

3. Функция: \( y = \frac{1}{3}x^3 - 4x \)

1. Находим первую производную: \( y' = x^2 - 4 \).
2. Приравниваем производную к нулю: \( x^2 - 4 = 0 \) \( → \) \( x^2 = 4 \) \( → \) \( x = \pm 2 \).
3. Анализируем знак производной:
   • При \( x < -2 \), \( y' > 0 \) (функция возрастает).
   • При \( -2 < x < 2 \), \( y' < 0 \) (функция убывает).
   • При \( x > 2 \), \( y' > 0 \) (функция возрастает).
4. Точка \( x = -2 \) является точкой максимума. Значение функции: \( y(-2) = \frac{1}{3}(-2)^3 - 4(-2) = \frac{1}{3}(-8) + 8 = -\frac{8}{3} + \frac{24}{3} = \frac{16}{3} \).
5. Точка \( x = 2 \) является точкой минимума. Значение функции: \( y(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - 4(2) = \frac{1}{3}(8) - 8 = \frac{8}{3} - \frac{24}{3} = -\frac{16}{3} \).

Ответ: Функция возрастает на \( (-∞, -2) \) и \( (2, +∞) \), убывает на \( (-2, 2) \). Точка максимума: \( (-2, \frac{16}{3}) \). Точка минимума: \( (2, -\frac{16}{3}) \).