1. Найдите производную функций: 1) f(x) = 12/(x^2) - x/x + 7 + 8*sqrt(x), 4) f(x) = x^2 * tgx, 6) f(x)=x^3+cos x. 2) f(x) = (x^2 - 2sinx)^3, 3) f(x) = 5^x / ln x, 5) f(x) = 5cos x + x^5 - e^x. 7) f(x)=3*x + x^2

Решение:

1. 1)

   Производная от \( f(x) = \frac{12}{x^2} - \frac{x}{x} + 7 + 8\sqrt{x} \) равна:

   \( f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 12x^{-2} - 1 + 7 + 8x^{1/2} \right) \)

   \( f'(x) = -24x^{-3} - 0 + 0 + 8 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} \)

   \( f'(x) = -\frac{24}{x^3} + \frac{4}{\sqrt{x}} \)

2. 2)

   Производная от \( f(x) = (x^2 - 2\sin x)^3 \) равна:

   Используем правило дифференцирования сложной функции \( (u^n)' = n u^{n-1} u' \).

   \( f'(x) = 3(x^2 - 2\sin x)^2 \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 2\sin x) \)

   \( f'(x) = 3(x^2 - 2\sin x)^2 \cdot (2x - 2\cos x) \)

   \( f'(x) = 6(x^2 - 2\sin x)^2 (x - \cos x) \)

3. 3)

   Производная от \( f(x) = \frac{5^x}{\ln x} \) равна:

   Используем правило дифференцирования частного \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

   \( u = 5^x \), \( u' = 5^x \ln 5 \)

   \( v = \ln x \), \( v' = \frac{1}{x} \)

   \( f'(x) = \frac{(5^x \ln 5)(\ln x) - (5^x)(\frac{1}{x})}{(\ln x)^2} \)

   \( f'(x) = \frac{5^x \left( (\ln 5)(\ln x) - \frac{1}{x} \right)}{(\ln x)^2} \)

4. 4)

   Производная от \( f(x) = x^2 tg x \) равна:

   Используем правило дифференцирования произведения \( (uv)' = u'v + uv' \).

   \( u = x^2 \), \( u' = 2x \)

   \( v = tg x \), \( v' = \frac{1}{\cos^2 x} \)

   \( f'(x) = (2x)(tg x) + (x^2)\left(\frac{1}{\cos^2 x}\right) \)

   \( f'(x) = 2x tg x + \frac{x^2}{\cos^2 x} \)

5. 5)

   Производная от \( f(x) = 5\cos x + x^5 - e^x \) равна:

   \( f'(x) = \frac{d}{dx}(5\cos x) + \frac{d}{dx}(x^5) - \frac{d}{dx}(e^x) \)

   \( f'(x) = -5\sin x + 5x^4 - e^x \)

6. 6)

   Производная от \( f(x) = x^3 + \cos x \) равна:

   \( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(\cos x) \)

   \( f'(x) = 3x^2 - \sin x \)

7. 7)

   Производная от \( f(x) = 3x + x^2 \) равна:

   \( f'(x) = \frac{d}{dx}(3x) + \frac{d}{dx}(x^2) \)

   \( f'(x) = 3 + 2x \)

Ответ:

1) \( f'(x) = -\frac{24}{x^3} + \frac{4}{\sqrt{x}} \)

2) \( f'(x) = 6(x^2 - 2\sin x)^2 (x - \cos x) \)

3) \( f'(x) = \frac{5^x \left( (\ln 5)(\ln x) - \frac{1}{x} \right)}{(\ln x)^2} \)

4) \( f'(x) = 2x tg x + \frac{x^2}{\cos^2 x} \)

5) \( f'(x) = -5\sin x + 5x^4 - e^x \)

6) \( f'(x) = 3x^2 - \sin x \)

7) \( f'(x) = 3 + 2x \)