1. Найдите производную функции y = 6x^3 - 8x^2 + 2x + 1. 2. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 6x^3 - 8x^2 + 2x + 1 в точке x₀ = 2.

Решение:

• 1. Нахождение производной:

  Для нахождения производной функции y = 6x³ - 8x² + 2x + 1, применим правила дифференцирования:

  • Производная от 6x³: 6 * 3x² = 18x²
  • Производная от -8x²: -8 * 2x = -16x
  • Производная от 2x: 2
  • Производная от константы 1: 0

  Таким образом, производная функции y' = 18x² - 16x + 2.

• 2. Нахождение уравнения касательной:

  Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x₀ имеет вид: y - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀).

  Сначала найдем значение функции в точке x₀ = 2:

  • f(2) = 6(2)³ - 8(2)² + 2(2) + 1
  • f(2) = 6(8) - 8(4) + 4 + 1
  • f(2) = 48 - 32 + 4 + 1
  • f(2) = 16 + 5 = 21

  Теперь найдем значение производной в точке x₀ = 2:

  • f'(2) = 18(2)² - 16(2) + 2
  • f'(2) = 18(4) - 32 + 2
  • f'(2) = 72 - 32 + 2
  • f'(2) = 40 + 2 = 42

  Теперь подставим найденные значения в уравнение касательной:

  • y - 21 = 42(x - 2)
  • y - 21 = 42x - 84
  • y = 42x - 84 + 21
  • y = 42x - 63

Ответ:

• Производная функции: y' = 18x² - 16x + 2
• Уравнение касательной: y = 42x - 63