Контрольные задания > 1. Найдите меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной CD углы, равные 30° и 105° соответственно.
Вопрос:

1. Найдите меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной CD углы, равные 30° и 105° соответственно.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии. Чтобы найти меньший угол трапеции, нам нужно использовать свойства равнобедренной трапеции и тригонометрию.

Дано:

  • Трапеция ABCD — равнобедренная.
  • Диагональ AC.
  • ∠BAC = 30°.
  • ∠ACD = 105°.

Решение:

  1. Углы при основании: В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Значит, ∠BAC = ∠CAD = 30° (как накрест лежащие углы при параллельных BC и AD и секущей AC).
  2. Угол трапеции: Угол ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 30° + 30° = 60°.
  3. Смежный угол: Угол ∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC. Но так как трапеция равнобедренная, ∠ABC = ∠BAD = 60°.
  4. Угол при вершине C: Угол ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD.
  5. Угол ∠BCA: В треугольнике ABC, ∠ABC = 60°, ∠BAC = 30°. Сумма углов в треугольнике 180°, поэтому ∠BCA = 180° - 60° - 30° = 90°.
  6. Угол ∠BCD: ∠BCD = 90° + 105° = 195°. Это неверно, так как угол трапеции не может быть больше 180°. Давайте пересмотрим условие.

Переосмысливаем условие:

У нас есть углы, образованные диагональю AC с основанием BC и боковой стороной CD. Вероятно, имеется в виду угол между диагональю AC и основанием AB (или CD, если AC — диагональ, проведенная из вершины A к основанию CD). Но по рисунку видно, что AC — диагональ, а углы даны как ∠BAC (угол с основанием AB) и ∠ACD (угол с боковой стороной CD).

Попробуем снова:

  1. Углы при основании: ∠BAC = 30°. Так как трапеция равнобедренная, ∠ABC = ∠BAD.
  2. Угол ∠CAD: ∠CAD = 30° (накрест лежащие с ∠BAC).
  3. Угол ∠ADC: ∠ADC = ∠ABC (углы при основании AD).
  4. Угол ∠ACD = 105°.
  5. Угол ∠BCD: ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD.
  6. Рассмотрим треугольник ACD: У нас есть ∠CAD = 30° и ∠ACD = 105°. Сумма углов в треугольнике: ∠ADC = 180° - ∠CAD - ∠ACD = 180° - 30° - 105° = 45°.
  7. Угол при основании AD: ∠ADC = 45°.
  8. Угол при основании BC: Поскольку трапеция равнобедренная, ∠BCD = ∠ADC = 45°.
  9. Угол ∠ABC: ∠ABC + ∠BCD = 180° (как сумма односторонних углов при параллельных основаниях BC и AD и секущей CD). Тогда ∠ABC = 180° - 45° = 135°.
  10. Угол ∠BAD: ∠BAD = ∠ABC = 135° (углы при основании AD).

Получаем углы трапеции:

  • ∠BAD = 135°
  • ∠ABC = 135°
  • ∠BCD = 45°
  • ∠ADC = 45°

Теперь проверим условие ∠BAC = 30° и ∠ACD = 105°.

У нас ∠CAD = 30°, значит ∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 135° - 30° = 105°. Это противоречит условию ∠BAC = 30°.

Вернемся к первому варианту интерпретации, предполагая, что углы даны для основания AB и боковой стороны CD, как на рисунке.

  1. Угол ∠BAC = 30°.
  2. Угол ∠ACD = 105°.
  3. В равнобедренной трапеции: ∠ABC = ∠BAD.
  4. Углы при основании AD равны: ∠ADC = ∠BCD.
  5. Сумма углов трапеции: ∠BAD + ∠ABC + ∠BCD + ∠ADC = 360°.
  6. Также, BC || AD.
  7. Рассмотрим ∠CAD. Так как BC || AD, ∠BCA = ∠CAD (накрест лежащие).
  8. В треугольнике ABC: ∠BCA = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 30° - ∠ABC.
  9. Из этого следует: ∠CAD = 180° - 30° - ∠ABC.
  10. Угол ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = (180° - 30° - ∠ABC) + 105°.
  11. Так как ∠BCD = ∠ADC, и ∠ADC = 180° - ∠CAD (односторонние с ∠CAD, если AB || CD, что неверно)
  12. Давайте использовать свойство углов равнобедренной трапеции: ∠ADC = ∠ABC.
  13. И ∠BCD = ∠BAD.
  14. Но это для углов при основаниях. У нас ∠ADC = ∠BCD, а ∠BAD = ∠ABC.
  15. Так как BC || AD: ∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠BCD + ∠ADC = 180°.
  16. Пусть ∠BAD = ∠ABC = x.
  17. Пусть ∠ADC = ∠BCD = y.
  18. Тогда x + y = 180°.
  19. У нас ∠BAC = 30°.
  20. ∠CAD = ∠BAD - ∠BAC = x - 30°.
  21. Так как BC || AD, ∠BCA = ∠CAD = x - 30°.
  22. Теперь рассмотрим ∠ACD = 105°.
  23. ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = (x - 30°) + 105° = x + 75°.
  24. Но мы знаем, что ∠BCD = y.
  25. Значит, y = x + 75°.
  26. Подставим это в уравнение x + y = 180°:
  27. x + (x + 75°) = 180°
  28. 2x + 75° = 180°
  29. 2x = 180° - 75°
  30. 2x = 105°
  31. x = 52.5°
  32. Тогда y = 180° - 52.5° = 127.5°.
  33. Углы трапеции:
    • ∠BAD = ∠ABC = x = 52.5°.
    • ∠BCD = ∠ADC = y = 127.5°.
  34. Проверим:
    • ∠BAC = 30°.
    • ∠CAD = x - 30° = 52.5° - 30° = 22.5°.
    • ∠BCA = ∠CAD = 22.5°.
    • ∠ACD = 105°.
    • ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = 22.5° + 105° = 127.5°. Это совпадает с y.
  35. Углы трапеции: 52.5°, 52.5°, 127.5°, 127.5°.
  36. Меньшие углы: 52.5°.

Ответ: Меньший угол трапеции равен 52.5°.

ГДЗ по фото 📸