Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике ABC:
\( \angle ABC = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \)
В прямоугольном треугольнике BCE:
\( \angle CBE = \angle ABC - \angle ABE \)
Мы знаем, что \( \angle CBE = 90^{\circ} - \angle BEC \)
В треугольнике ABE:
\( \angle BEA = 180^{\circ} - \angle A - \angle ABE = 180^{\circ} - 30^{\circ} - \angle ABE \)
Нам дано \( BE = 6 \) см.
В прямоугольном \( \triangle BCE \): \( CE = BC \tan(\angle CBE) \).
В прямоугольном \( \triangle ABC \): \( BC = AC \tan(30^{\circ}) \) и \( AC = \frac{BC}{\tan(30^{\circ})} \).
В \( \triangle BCE \): \( CE = BE \sin(\angle CBE) \) и \( BC = BE \cos(\angle CBE) \).
Из \( \triangle BCE \) имеем \( \angle BCE = 90^{\circ} \).
В \( \triangle ABE \): \( \angle BEA = 180^{\circ} - 30^{\circ} - \angle ABE \).
В \( \triangle BCE \): \( \angle BEC = 90^{\circ} - \angle CBE \).
\( \angle BEA + \angle BEC = 180^{\circ} \) (развёрнутый угол).
\( \angle BEA = 180^{\circ} - \angle BEC = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \angle CBE) = 90^{\circ} + \angle CBE \)
Из \( \triangle BCE \): \( \angle CBE = 90^{\circ} - \angle BEC \).
Из \( \triangle BCE \): \( CE = BC \tan(\angle CBE) \).
Из \( \triangle ABC \): \( BC = AC \tan(30^{\circ}) \).
В \( \triangle BCE \): \( BC = BE \cos(\angle CBE) \), \( CE = BE \sin(\angle CBE) \).
\( \angle ABE = 30^{\circ} \).
Тогда \( \angle BEA = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ} \).
В \( \triangle BCE \): \( \angle CBE = 90^{\circ} - \angle BEC \).
\( \angle BEC = 180^{\circ} - \angle BEA = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).
\( \angle CBE = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).
Проверим: \( \angle ABC = \angle ABE + \angle CBE = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
\( \angle BAC = 30^{\circ} \).
\( \angle ACB = 90^{\circ} \).
\( \angle ABC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
Итак, \( \angle ABE = 30^{\circ} \) и \( \angle CBE = 30^{\circ} \). Это значит, что BE — биссектриса \( \angle ABC \).
В \( \triangle BCE \) (прямоугольном):
\( CE = BE \sin(30^{\circ}) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \) см.
\( BC = BE \cos(30^{\circ}) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \) см.
В \( \triangle ABC \) (прямоугольном):
\( AC = \frac{BC}{\tan(30^{\circ})} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9 \) см.
\( \angle BEA = 180^{\circ} - \angle A - \angle ABE = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ} \).
Ответ: \( \angle BEA = 120^{\circ} \), \( CE = 3 \) см, \( AC = 9 \) см.
