1) Начертить окружность с центром О. Поставить на ней точки А и В. Построить центральный и вписанный углы, опирающиеся на дугу AB. 2) Доказать теорему о вписанном угле. 3) Найти X. a) 167° б) 64°, 30° в) 63°

1. Построение окружности и углов:

1. Начерти окружность с центром в точке О.


2. Отметь на окружности две точки: А и В.


3. Проведи радиусы ОА и ОВ. Угол АОВ — центральный угол, опирающийся на дугу AB.


4. Выбери любую точку С на окружности (не на дуге AB). Проведи отрезки СА и СВ. Угол АСВ — вписанный угол, опирающийся на дугу AB.

2. Теорема о вписанном угле:

Теорема: Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство:

Рассмотрим три случая:

1. Центр окружности О лежит на одной из сторон вписанного угла (например, на стороне AC).
   
   

   В этом случае OA = OC (радиусы), поэтому треугольник AOC — равнобедренный. Угол AOB — внешний угол треугольника COB. Угол AOB = угол OCB + угол OBC. Так как треугольник AOC — равнобедренный, то угол OCB = угол OBC. Следовательно, угол AOB = 2 * угол OCB, или угол OCB = 1/2 * угол AOB.

   
   


2. Центр окружности О лежит внутри вписанного угла (угол ACB).
   
   

   Проведем через вершину C и центр О диаметр CD. Тогда угол ACB = угол ACD + угол BCD. По первому случаю, угол ACD = 1/2 * угол AOD, и угол BCD = 1/2 * угол BOD. Таким образом, угол ACB = 1/2 * (угол AOD + угол BOD) = 1/2 * угол AOB.

   
   


3. Центр окружности О лежит вне вписанного угла (угол ACB).
   
   

   Проведем через вершину C и центр О диаметр CD. Тогда угол ACB = угол ACD - угол BCD. По первому случаю, угол ACD = 1/2 * угол AOD, и угол BCD = 1/2 * угол BOD. Таким образом, угол ACB = 1/2 * (угол AOD - угол BOD) = 1/2 * угол AOB.

   
   

3. Найти X:

а)

Центральный угол, опирающийся на дугу AB, равен 167°. Вписанный угол X опирается на ту же дугу.

По теореме о вписанном угле:

\( X = \frac{1}{2} \cdot 167^{\circ} \)

\( X = 83.5^{\circ} \)

Ответ: X = 83.5°.

б)

Вписанный угол АСВ равен 64°. Центральный угол АОВ, опирающийся на ту же дугу AB, равен удвоенному значению вписанного угла.

\( \angle AOB = 2 \cdot \angle ACB \)

\( \angle AOB = 2 \cdot 64^{\circ} \)

\( \angle AOB = 128^{\circ} \)

На рисунке также указан угол 30°. Вероятно, это угол, опирающийся на другую дугу или являющийся частью другого угла. Если X обозначает центральный угол, то X = 128°.

Если предположить, что 30° — это часть вписанного угла, и X — это другой вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, то X = 64°.

Исходя из контекста, что нужно найти X, и рисунок показывает угол, обозначенный как X, опирающийся на дугу AB, и рядом дано значение 64°, то X=64°.

Ответ: X = 64° (если X — вписанный угол). Если X — центральный угол, то X = 128°.

в)

В центральном угле AOB указана величина 63°. Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу AB.

По теореме о вписанном угле:

\( X = \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot \angle AOB \)

\( X = \frac{1}{2} \cdot 63^{\circ} \)

\( X = 31.5^{\circ} \)

Ответ: X = 31.5°.