1. На высоте АН равнобедренного треугольника с углом А=90 взята точка О. Докажите, что треугольники ВОН и НОС равны.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный, \( \angle A = 90^\circ \), \( AH \) — высота, \( O \) — точка на \( AH \).

Доказать: \( \triangle BOH = \triangle HOC \)

Доказательство:

1. Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный и \( \angle A = 90^\circ \), то \( \triangle ABC \) — равнобедренный прямоугольный. Высота \( AH \) в равнобедренном прямоугольном треугольнике является также медианой и биссектрисой. Следовательно, \( BH = HC \).
2. \( AH \) — высота, значит \( \angle AHB = \angle AHC = 90^\circ \).
3. \( O \) лежит на \( AH \), значит \( \angle BOH = \angle COH = 90^\circ \).
4. Рассмотрим \( \triangle BOH \) и \( \triangle HOC \):
• \( BH = HC \) (по доказанному в п. 1).
• \( OH = OH \) (общая сторона).
• \( \angle BOH = \angle COH = 90^\circ \) (по доказанному в п. 3).
5. По двум катетам (признак равенства прямоугольных треугольников), \( \triangle BOH = \triangle HOC \).

Что и требовалось доказать.