1. На рисунке 92 ∠1=∠2, ∠3=∠4=90°, BD=DC. Докажите, что ∆ABC равнобедренный. 2. Один из острых углов прямоугольного треугольника в два раза меньше другого, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.

Вариант II

1. Доказательство:

   Рассмотрим \( \triangle ABD \) и \( \triangle CBD \).

   • \( BD = DC \) (по условию).
   • \( \angle 3 = \angle 4 = 90^{\circ} \) (по условию).
   • \( \angle 1 = \angle 2 \) (по условию).

   По двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников), \( \triangle ABD = \triangle CBD \).

   Следовательно, \( AB = CB \).

   По определению, если две стороны треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный. Значит, \( \triangle ABC \) — равнобедренный.

2. Решение:

   Пусть острые углы прямоугольного треугольника равны \( \alpha \) и \( \beta \). Из условия \( \alpha + \beta = 90^{\circ} \).

   Пусть \( \alpha \) — один острый угол, а \( \beta = 2 \alpha \) — другой.

   Тогда \( \alpha + 2\alpha = 90^{\circ} \) \( \Rightarrow \) \( 3\alpha = 90^{\circ} \) \( \Rightarrow \) \( \alpha = 30^{\circ} \).

   Второй острый угол \( \beta = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

   Углы треугольника равны \( 30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ} \).

   Пусть \( x \) — меньший катет (лежащий напротив угла \( 30^{\circ} \)).

   Пусть \( y \) — гипотенуза.

   В прямоугольном треугольнике с углами \( 30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ} \) катет, лежащий напротив угла \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы. То есть \( x = \frac{y}{2} \).

   Из этого следует, что \( y = 2x \).

   По условию, разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см: \( y - x = 15 \).

   Подставим \( y = 2x \) в уравнение:

   \( 2x - x = 15 \) \( \Rightarrow \) \( x = 15 \) см.

   Теперь найдём гипотенузу:

   \( y = 2x = 2 \cdot 15 = 30 \) см.

   Проверка: Гипотенуза = 30 см, меньший катет = 15 см. Разность = 30 - 15 = 15 см. Углы 30°, 60°, 90°.

Ответ: 1. Доказано, что \( \triangle ABC \) равнобедренный. 2. Гипотенуза — 30 см, меньший катет — 15 см.