Контрольные задания
Вопрос:

1. На рисунке 91 AD=DC, ED=DF, ∠1=∠2=90°. Докажите, что ∆ABC равнобедренный. 2. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.

Фото заданияОткрыть фото

Ответ:

Вариант I



  1. Доказательство:

    Рассмотрим треугольники \( \triangle ADE \) и \( \triangle CDF \).

    • \( AD = DC \) (по условию).
    • \( ED = DF \) (по условию).
    • \( \angle ADE = \angle CDF \) (как вертикальные углы).

    По двум сторонам и углу между ними, \( \triangle ADE = \triangle CDF \). Следовательно, \( AE = CF \) и \( \angle 1 = \angle 2 \).

    Из условия \( \angle 1 = 90^{\circ} \) и \( \angle 2 = 90^{\circ} \) следует, что \( DE \perp AC \) и \( DF \perp AC \).

    Рассмотрим \( \triangle ABC \). Точки \( E \) и \( F \) лежат на стороне \( AC \). \( DE \) и \( DF \) — высоты, опущенные из точки \( B \) на сторону \( AC \). Но это неверно, так как \( E \) и \( F \) лежат на \( AC \), а \( D \) — середина \( AC \).

    Рассмотрим \( \triangle BDC \) и \( \triangle BDA \).

    Из того, что \( ED \perp AC \) и \( DF \perp AC \), следует, что \( ED \parallel DF \), что невозможно, так как они исходят из одной точки \( D \).

    Давайте переосмыслим условие. \( E \) и \( F \) — точки на сторонах \( AB \) и \( BC \) соответственно. \( DE \perp AB \), \( DF \perp BC \), \( D \) — середина \( AC \).

    Рассмотрим \( \triangle ADE \) и \( \triangle CDF \).

    • \( AD = DC \) (по условию).
    • \( \angle AED = \angle CFD = 90^{\circ} \) (по условию).
    • \( \angle ADE = \angle CDF \) (как вертикальные углы).

    По гипотенузе и острому углу, \( \triangle ADE = \triangle CDF \). Следовательно, \( AE = CF \) и \( DE = DF \).

    Рассмотрим \( \triangle ABC \).

    \( AE = CF \) и \( AD = DC \). Из этого не следует, что \( \triangle ABC \) равнобедренный.

    Если \( \angle 1 = 90^{\circ} \) и \( \angle 2 = 90^{\circ} \), то \( DE \perp AB \) и \( DF \perp BC \). То есть \( DE \) и \( DF \) — высоты.

    Если \( DE = DF \), то точка \( D \) равноудалена от сторон \( AB \) и \( BC \). Значит, \( D \) лежит на биссектрисе угла \( \angle ABC \).

    Так как \( D \) — середина \( AC \), то \( BD \) — медиана.

    Если в \( \triangle ABC \) медиана \( BD \) является биссектрисой, то \( \triangle ABC \) — равнобедренный.

  2. Решение:

    Пусть \( \alpha \) — один из острых углов прямоугольного треугольника. Тогда второй острый угол равен \( 90^{\circ} - \alpha \).

    Пусть \( x \) — меньший катет, а \( y \) — гипотенуза.

    Случай 1: \( \alpha = 60^{\circ} \). Тогда второй острый угол равен \( 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

    Меньший катет лежит напротив меньшего угла, то есть напротив \( 30^{\circ} \). Пусть \( x \) — меньший катет, тогда \( x = \frac{y}{2} \), или \( y = 2x \).

    По условию, \( y + x = 18 \) см.

    Подставим \( y = 2x \): \( 2x + x = 18 \) \( \Rightarrow \) \( 3x = 18 \) \( \Rightarrow \) \( x = 6 \) см.

    Тогда \( y = 2x = 2 \cdot 6 = 12 \) см.

    Случай 2: \( 90^{\circ} - \alpha = 60^{\circ} \), то есть \( \alpha = 30^{\circ} \).

    Тогда второй угол равен \( 60^{\circ} \). В этом случае меньший катет лежит напротив угла \( 30^{\circ} \).

    Пусть \( x \) — меньший катет, \( y \) — гипотенуза. Тогда \( x = \frac{y}{2} \), или \( y = 2x \).

    Это тот же случай, что и первый. Углы 60° и 30°.

    Проверка: Гипотенуза = 12 см, меньший катет = 6 см. Сумма = 12 + 6 = 18 см. Угол напротив меньшего катета = 30°, напротив большего = 60°.

Ответ: 1. Доказано, что \( \triangle ABC \) равнобедренный. 2. Гипотенуза — 12 см, меньший катет — 6 см.

📄 Все решения с фото📸 Фото ГДЗ