1.На рис. АВСD- прямоугольник, точка М - середина стороны ВС. Укажите номера верных утверждений.

Анализ утверждений:

Для решения этой задачи нам нужно вспомнить свойства симметрии и прямоугольника.

Дано: Прямоугольник ABCD, M - середина BC.

Рассмотрим каждое утверждение:

1. Точка B симметрична точке C относительно прямой a. На рисунке прямая 'a' проходит через центр прямоугольника и параллельна сторонам AD и BC. Точка B и C не симметричны относительно этой прямой, так как они находятся по разные стороны от нее, но не на одинаковом расстоянии, и прямая 'a' не является серединным перпендикуляром к отрезку BC. Неверно.
2. Точка D симметрична точке C относительно точки M. Точка M - середина BC. Если бы точка D была симметрична точке C относительно M, то M была бы серединой отрезка CD. Это не так.
3. Точка B симметрична точке C относительно точки O. Точка O - центр прямоугольника (пересечение диагоналей). В прямоугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, O является серединой диагоналей AC и BD. Точка B и C не симметричны относительно O, т.к. O — середина BD, а не BC.
4. Точка A симметрична точке C относительно точки O. Да, это верно. В прямоугольнике центр симметрии (точка пересечения диагоналей O) является серединой каждой диагонали. Поэтому точка A симметрична точке C относительно O, и наоборот.
5. Точка A симметрична точке C относительно прямой a. Прямая 'a' проходит через центр O. Симметрия относительно прямой 'a' означает, что прямая 'a' является серединным перпендикуляром к отрезку AC. Это не так, так как 'a' не перпендикулярна AC.
6. Точка A симметрична точке C относительно прямой b. Прямая 'b' проходит через центр O и является диагональю. Симметрия относительно прямой 'b' означает, что точки A и C лежат на этой прямой, что неверно.

Ответ: 4