Контрольные задания
Вопрос:

1. На рис. 186 ∠BAK = ∠CAK, ∠ABD = ∠CBD, BD ⊥ AK, ∠AKB = 102°. Найти углы треугольника АВС.

Фото заданияОткрыть фото

Ответ:

Решение:

  1. Из условия следует, что AK — биссектриса ∠BAC, а BK — биссектриса ∠ABC.
  2. В треугольнике AKB: \( \angle BAK + \angle ABK + \angle AKB = 180° \).
  3. \( \angle BAK + \angle ABK + 102° = 180° \).
  4. \( \angle BAK + \angle ABK = 180° - 102° = 78° \).
  5. Так как AK — биссектриса \( \angle BAC \), то \( \angle BAC = 2 \cdot \angle BAK \).
  6. Так как BK — биссектриса \( \angle ABC \), то \( \angle ABC = 2 \cdot \angle ABK \).
  7. Сумма углов треугольника ABC: \( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180° \).
  8. \( 2 \cdot \angle BAK + 2 \cdot \angle ABK + \angle BCA = 180° \).
  9. \( 2 (\angle BAK + \angle ABK) + \angle BCA = 180° \).
  10. Подставляем значение \( \angle BAK + \angle ABK = 78° \): \( 2 \cdot 78° + \angle BCA = 180° \).
  11. \( 156° + \angle BCA = 180° \).
  12. \( \angle BCA = 180° - 156° = 24° \).
  13. Теперь найдем \( \angle BAC \) и \( \angle ABC \). Из рисунка видно, что BD ⊥ AK.
  14. В треугольнике BKD: \( \angle BDK = 90° \).
  15. \( \angle KBD + \angle BDK + \angle DKB = 180° \) (сумма углов треугольника BKD).
  16. \( \angle KBD + 90° + 102° = 180° \) - Это неверно, так как 102° — это \( \angle AKB \), а не \( \angle BKD \). \( \angle AKB \) и \( \angle BKD \) — смежные углы, если K лежит на BD. Но K лежит на AC.
  17. Рассмотрим треугольник ABD. \( \angle BAD + \angle ABD + \angle BDA = 180° \). \( \angle BDA = 90° \) так как BD ⊥ AK, а K лежит на AC.
  18. \( \angle BAD \) — это \( \angle BAC \). \( \angle ABD \) — часть \( \angle ABC \).
  19. Вернемся к \( \angle BAK + \angle ABK = 78° \).
  20. Из рисунка \( \angle ABK \) — это \( \angle ABC/2 \). \( \angle BAK \) — это \( \angle BAC/2 \).
  21. Нам нужно найти \( \angle BAC \), \( \angle ABC \), \( \angle BCA \).
  22. Мы нашли \( \angle BCA = 24° \).
  23. В треугольнике ABD: \( \angle BAD = \angle BAC \). \( \angle ABD \). \( \angle BDA = 90° \).
  24. \( \angle BAD + \angle ABD = 90° \).
  25. \( \angle BAC/2 + \angle ABC/2 = 78° \) — это неверно.
  26. \( \angle BAK \) = \( \angle BAC/2 \). \( \angle ABK \) = \( \angle ABC/2 \).
  27. \( \angle BAC/2 + \angle ABC/2 = 78° \).
  28. \( \angle BAC + \angle ABC = 156° \).
  29. \( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180° \).
  30. \( 156° + \angle BCA = 180° \). \( \angle BCA = 24° \).
  31. Теперь нужно найти \( \angle BAC \) и \( \angle ABC \).
  32. В прямоугольном треугольнике AKD (так как BD ⊥ AK, значит \( \angle BDA = 90° \), и \( \angle BDK = 90° \), но это не значит \( \angle AKD = 90° \)). \( \angle BDA = 90° \) означает, что BD — высота.
  33. В треугольнике AKB: \( \angle AKB = 102° \). \( \angle KAB = \angle BAC/2 \). \( \angle KBA = \angle ABC/2 \).
  34. \( \angle KAB + \angle KBA = 180° - 102° = 78° \).
  35. \( \angle BAC/2 + \angle ABC/2 = 78° \).
  36. \( \angle BAC + \angle ABC = 156° \).
  37. В треугольнике ABC: \( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180° \).
  38. \( 156° + \angle BCA = 180° \) => \( \angle BCA = 24° \).
  39. Из рисунка видно, что BD — высота, значит \( \angle BDA = 90° \).
  40. В прямоугольном треугольнике ABD: \( \angle BAD + \angle ABD = 90° \).
  41. \( \angle BAC + \angle ABD = 90° \).
  42. Мы знаем, что \( \angle ABD = \angle ABC/2 \).
  43. \( \angle BAC + \angle ABC/2 = 90° \).
  44. У нас есть система уравнений:
  45. 1) \( \angle BAC + \angle ABC = 156° \)
  46. 2) \( \angle BAC + \angle ABC/2 = 90° \)
  47. Вычтем второе уравнение из первого:
  48. \( (\angle BAC + \angle ABC) - (\angle BAC + \angle ABC/2) = 156° - 90° \)
  49. \( \angle ABC - \angle ABC/2 = 66° \)
  50. \( \angle ABC/2 = 66° \)
  51. \( \angle ABC = 132° \).
  52. Теперь найдем \( \angle BAC \) из первого уравнения:
  53. \( \angle BAC + 132° = 156° \)
  54. \( \angle BAC = 156° - 132° = 24° \).
  55. Проверка: \( \angle BAC = 24° \), \( \angle ABC = 132° \), \( \angle BCA = 24° \).
  56. \( 24° + 132° + 24° = 180° \). Верно.
  57. Проверим условия:
  58. \( \angle BAK = \angle BAC/2 = 24°/2 = 12° \).
  59. \( \angle CAK = \angle BAC/2 = 24°/2 = 12° \). => \( \angle BAK = \angle CAK \). Верно.
  60. \( \angle ABD = \angle ABC/2 = 132°/2 = 66° \).
  61. \( \angle CBD = \angle ABC/2 = 132°/2 = 66° \). => \( \angle ABD = \angle CBD \). Верно.
  62. BD ⊥ AK. \( \angle BDA = 90° \). \( \angle BAC = 24° \), \( \angle ABD = 66° \). \( \angle BAD + \angle ABD = 24° + 66° = 90° \). В прямоугольном \( \triangle ABD \), \( \angle BDA = 90° \). Верно.
  63. \( \angle AKB = 102° \). В \( \triangle AKB \): \( \angle KAB = 12° \), \( \angle KBA = 66° \). \( 12° + 66° + \angle AKB = 180° \) => \( 78° + \angle AKB = 180° \) => \( \angle AKB = 102° \). Верно.

Ответ: \( \angle BAC = 24°, \angle ABC = 132°, \angle BCA = 24° \).

📄 Все ответы📸 Решить моё задание