1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник АВС. Найдите: а) длину его средней линии, параллельной стороне АС; b) площадь треугольника.

Решение:

1. а) Длина средней линии треугольника.

Средняя линия треугольника равна половине основания, параллельного ей. В данном случае, средняя линия параллельна стороне АС.

Для нахождения длины средней линии, нужно измерить длину стороны АС в единицах клетки.

Сторона АС проходит через точки A(0,0) и C(4,2). Длина АС = \( \sqrt{(4-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \) клеточек.

Длина средней линии = \( \frac{1}{2} \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} = \sqrt{5} \) клеточек.

1. b) Площадь треугольника.

Площадь треугольника можно найти как половину произведения основания на высоту. Или, в данном случае, удобнее использовать формулу площади по координатам вершин или метод вырезания прямоугольником.

Второй вариант (визуально):

Основание АС лежит на прямой. Чтобы найти площадь, построим прямоугольник, охватывающий треугольник. Координаты вершин: A(0,0), B(2,4), C(4,2).

Рассмотрим основание АС, его длина в клетках составляет 4 единицы по горизонтали и 2 единицы по вертикали. Это не перпендикулярное основание.

Используем формулу площади через определитель (или метод прямоугольника):

Площадь прямоугольника, охватывающего треугольник: ширина = 4, высота = 4. Площадь = 16.

Площадь треугольника = Площадь прямоугольника - площади 3 прямоугольных треугольников по краям.

Площадь 1 (слева от AB): \( \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4 \)

Площадь 2 (справа от BC): \( \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2 \)

Площадь 3 (снизу от AC): \( \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4 \)

Площадь треугольника ABC = \( 16 - (4 + 2 + 4) = 16 - 10 = 6 \) квадратных клеток.

Альтернативный способ (нахождение высоты):

Основание AC. Уравнение прямой AC: \( y = \frac{1}{2}x \) или \( x - 2y = 0 \).

Длина AC = \( 2\sqrt{5} \).

Высота из B(2,4) к прямой \( x - 2y = 0 \): \( h = \frac{|2 - 2 \cdot 4|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|2 - 8|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|-6|}{\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5} \).

Площадь = \( \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} \cdot \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \) квадратных клеток.

Ответ: а) \( \sqrt{5} \) клеточек; b) 6 квадратных клеток.