1. Компл. числа. Алгебраическая форма. 2. Свойства определенного интеграла. 3. \( \int (x^3 - 2\cos x + 1) dx \) 4. \( \int_{0}^{\pi/6} (x^6 - 2\sin 3x + \frac{3}{x}) dx \) 5. \( \int_{0}^{\pi/4} x\sin x dx \)

Решение:

Задание содержит названия тем и несколько определённых интегралов. Решим каждый интеграл отдельно.

1. Тема: Комплексные числа. Алгебраическая форма.
2. Тема: Свойства определенного интеграла.
3. Интеграл: \( \int (x^3 - 2\cos x + 1) dx \)
   Это неопределенный интеграл.
   \( \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C_1 \)
   \( \int -2\cos x dx = -2\sin x + C_2 \)
   \( \int 1 dx = x + C_3 \)
   Суммируя, получаем:
   \( \int (x^3 - 2\cos x + 1) dx = \frac{x^4}{4} - 2\sin x + x + C \)
4. Интеграл: \( \int_{0}^{\pi/6} (x^6 - 2\sin 3x + \frac{3}{x}) dx \)
   Это определённый интеграл.
   \( \int x^6 dx = \frac{x^7}{7} \)
   \( \int -2\sin 3x dx = -2 \cdot \frac{-\cos 3x}{3} = \frac{2}{3}\cos 3x \)
   \( \int \frac{3}{x} dx = 3\ln|x| \)
   Первообразная: \( F(x) = \frac{x^7}{7} + \frac{2}{3}\cos 3x + 3\ln|x| \).
   Вычисляем на границах от \( 0 \) до \( \pi/6 \).
   Обратите внимание: \( \ln|x| \) не определен в точке \( x=0 \). Данный интеграл является несобственным и расходится.
5. Интеграл: \( \int_{0}^{\pi/4} x\sin x dx \)
   Это определённый интеграл, который решается интегрированием по частям.
   Формула: \( \int u dv = uv - \int v du \)
   Пусть \( u = x \) и \( dv = \sin x dx \).
   Тогда \( du = dx \) и \( v = \int \sin x dx = -\cos x \).
   \( \int x\sin x dx = x(-\cos x) - \int -\cos x dx = -x\cos x + \int \cos x dx = -x\cos x + \sin x + C \).
   Теперь вычисляем определённый интеграл:
   \( [-x\cos x + \sin x]_{0}^{\pi/4} \)
   \( = (-\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{4}) - (-0\cdot\cos 0 + \sin 0) \)
   \( = (-\frac{\pi}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (0 + 0) \)
   \( = \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - \frac{\pi}{4}) \)

Ответ: 3. \( \frac{x^4}{4} - 2\sin x + x + C \)
4. Интеграл расходится.
5. \( \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - \frac{\pi}{4}) \)