1. Компл. числа. Алгебраическая форма. 2. Свойства определенного интеграла. 3. \(\int\)_3^3 \(x^2 - 2\cos x + 1\) dx 4. \(\int\)_0^{\(\frac{\pi}{6}\)} \(x^6 - 2\sin 3x + \frac{3}{x}\) dx 5. \(\int\)_0^6 x\(\sin\) x dx 6. \(\int\)_0^{\(\frac{\pi}{3}\)} \(\frac{3 g^3 x}{\cos^2 x}\) dx 7. S=? y=x^2, y=4. 8. \(\iint\)_D x(y-x) dx dy D: x=y^2, y=x^2

1. Комплексные числа. Алгебраическая форма.

Комплексное число вида \( z = a + bi \), где \( a \) — действительная часть, \( b \) — мнимая часть, а \( i \) — мнимая единица (\( i^2 = -1 \)).

Алгебраическая форма — это представление комплексного числа в виде \( a + bi \).

2. Свойства определенного интеграла.

1. \( \int_a^a f(x) dx = 0 \)
2. \( \int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx \)
3. \( \int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx \)
4. \( \int_a^b (f(x) \pm g(x)) dx = \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx \)
5. \( \int_a^b k f(x) dx = k \int_a^b f(x) dx \), где \( k \) — константа.

3. Вычисление интеграла \( \int_3^3 (x^2 - 2\cos x + 1) dx \)

Согласно свойству определенного интеграла \( \int_a^a f(x) dx = 0 \), значение данного интеграла равно 0, так как верхний и нижний пределы интегрирования совпадают.

Ответ: 0

4. Вычисление интеграла \( \int_0^{\frac{\pi}{6}} (x^6 - 2\sin 3x + \frac{3}{x}) dx \)

Интеграл \( \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{3}{x} dx \) расходится, так как функция \( \frac{3}{x} \) имеет разрыв в точке \( x=0 \), которая является нижним пределом интегрирования.

Ответ: Интеграл расходится.

5. Вычисление интеграла \( \int_0^6 x\sin x dx \)

Для вычисления этого интеграла используем интегрирование по частям: \( \int u dv = uv - \int v du \).

Пусть \( u = x \), \( dv = \sin x dx \).

Тогда \( du = dx \), \( v = -\cos x \).

\( \int_0^6 x\sin x dx = [-x\cos x]_0^6 - \int_0^6 (-\cos x) dx \)

\( = [-x\cos x]_0^6 + \int_0^6 \cos x dx \)

\( = (-6\cos 6 - (-0\cos 0)) + [\sin x]_0^6 \)

\( = -6\cos 6 + (\sin 6 - \sin 0) \)

\( = -6\cos 6 + \sin 6 \)

Ответ: \( \sin 6 - 6\cos 6 \)

6. Вычисление интеграла \( \int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{3 g^3 x}{\cos^2 x} dx \)

Сделаем замену переменной. Пусть \( u = g x \). Тогда \( du = \frac{1}{\cos^2 x} dx \).

Пределы интегрирования:

При \( x = 0 \), \( u = g 0 = 0 \).

При \( x = \frac{\pi}{3} \), \( u = g \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \).

Интеграл примет вид:

\( \int_0^{\sqrt{3}} 3u^3 du \)

\( = 3 \left[ \frac{u^4}{4} \right]_0^{\sqrt{3}} \)

\( = 3 \left( \frac{(\sqrt{3})^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right) \)

\( = 3 \left( \frac{9}{4} - 0 \right) \)

\( = \frac{27}{4} \)

Ответ: \( \frac{27}{4} \)

7. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=x², y=4.

Найдем точки пересечения графиков:

\( x^2 = 4 \) \(\implies\) \( x = \pm 2 \).

Площадь фигуры равна:

\( S = \int_{-2}^2 (4 - x^2) dx \)

\( S = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^2 \)

\( S = \left( 4(2) - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} \right) \)

\( S = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 - \frac{-8}{3} \right) \)

\( S = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 + \frac{8}{3} \right) \)

\( S = 8 - \frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3} \)

\( S = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48 - 16}{3} = \frac{32}{3} \)

Ответ: \( \frac{32}{3} \)

8. Вычисление двойного интеграла \( \iint_D x(y-x) dx dy \) по области D: \( x=y^2, y=x^2 \)

Найдем точки пересечения кривых \( x=y^2 \) и \( y=x^2 \).

Подставим \( y=x^2 \) в первое уравнение: \( x = (x^2)^2 = x^4 \).

\( x^4 - x = 0 \)

\( x(x^3 - 1) = 0 \)

\( x = 0 \) или \( x = 1 \).

При \( x = 0 \), \( y = 0^2 = 0 \).

При \( x = 1 \), \( y = 1^2 = 1 \).

Область интегрирования D ограничена параболами \( y = \sqrt{x} \) (верхняя часть \( x=y^2 \)) и \( y = x^2 \) (нижняя часть).

Интеграл будет:

\( \iint_D x(y-x) dy dx = \int_0^1 \int_{x^2}^{\sqrt{x}} x(y-x) dy dx \)

Сначала проинтегрируем по \( y \):

\( \int_{x^2}^{\sqrt{x}} (xy - x^2) dy = \left[ x\frac{y^2}{2} - x^2y \right]_{x^2}^{\sqrt{x}} \)

\( = \left( x\frac{(\sqrt{x})^2}{2} - x^2(\sqrt{x}) \right) - \left( x\frac{(x^2)^2}{2} - x^2(x^2) \right) \)

\( = \left( x\frac{x}{2} - x^{2.5} \right) - \left( x\frac{x^4}{2} - x^4 \right) \)

\( = \left( \frac{x^2}{2} - x^{2.5} \right) - \left( \frac{x^5}{2} - x^4 \right) \)

\( = \frac{x^2}{2} - x^{5/2} - \frac{x^5}{2} + x^4 \)

Теперь проинтегрируем по \( x \):

\( \int_0^1 (\frac{x^2}{2} - x^{5/2} - \frac{x^5}{2} + x^4) dx \)

\( = \left[ \frac{x^3}{6} - \frac{x^{7/2}}{7/2} - \frac{x^6}{12} + \frac{x^5}{5} \right]_0^1 \)

\( = \left[ \frac{x^3}{6} - \frac{2x^{7/2}}{7} - \frac{x^6}{12} + \frac{x^5}{5} \right]_0^1 \)

\( = \left( \frac{1^3}{6} - \frac{2(1)^{7/2}}{7} - \frac{1^6}{12} + \frac{1^5}{5} \right) - (0) \)

\( = \frac{1}{6} - \frac{2}{7} - \frac{1}{12} + \frac{1}{5} \)

Приведем к общему знаменателю (210):

\( = \frac{35}{210} - \frac{60}{210} - \frac{17.5}{210} + \frac{42}{210} \) (ошибка, 1/12 = 17.5/210 не верно)

Общий знаменатель для 6, 7, 12, 5. Наименьшее общее кратное = 420.

\( = \frac{70}{420} - \frac{120}{420} - \frac{35}{420} + \frac{84}{420} \)

\( = \frac{70 - 120 - 35 + 84}{420} \)

\( = \frac{154 - 155}{420} = -\frac{1}{420} \)

Ответ: \( -\frac{1}{420} \)