1. Какой угол описывает часовая стрелка за 15 минут. 2. Найти площадь прямоугольника, если его диагональ равна 18 дм и образует с большей стороной угол равный 30° 3. Периметр параллелограмма равен 60 см. Одна из его сторон на 6 см меньше другой. Найти длины сторон параллелограмма. 4. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12см, а гипотенуза 13 см. Найдите второй катет и площадь треугольника. 5. В треугольнике АВС, АВ =12см, ВС =18 см, угол В = 70°, а в треугольнике MNK, MN=6 см, NK=9см, угол N=70°. Найдите сторону АС и угол С треугольника АВС, если МК= 7 см, угол К = 60°. 6. Какое из следующих утверждений верно? В ответе запишите номер выбранного утверждения. 1) Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон. 2) Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника. 3) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 7. Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, основания которых расположены на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами. Высота малой опоры 2,2 м, высота большой опоры 2,8 м. Найдите высоту средней опоры. Ответ дайте в метрах.

1. Угол часовой стрелки за 15 минут:

Часовая стрелка делает полный оборот (360°) за 12 часов. За 1 час она проходит \( 360° / 12 = 30° \). За 15 минут (четверть часа) она проходит \( 30° / 4 = 7.5° \).

Ответ: 7.5°

2. Площадь прямоугольника:

Диагональ \( d = 18 \) дм. Угол между диагональю и большей стороной \( \alpha = 30° \).

Пусть \( a \) — большая сторона, \( b \) — меньшая сторона.

В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами и диагональю:

\( a = d \cos(30°) = 18 \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \) дм.

\( b = d \sin(30°) = 18 \frac{1}{2} = 9 \) дм.

Площадь \( S = a b = 9\sqrt{3} 9 = 81\sqrt{3} \) дм².

Ответ: \( 81\sqrt{3} \) дм²

3. Длины сторон параллелограмма:

Пусть \( x \) — длина одной стороны, тогда другая сторона равна \( x - 6 \).

Периметр \( P = 2(x + x - 6) = 60 \) см.

\( 2(2x - 6) = 60 \)

\( 4x - 12 = 60 \)

\( 4x = 72 \)

\( x = 18 \) см.

Тогда другая сторона равна \( 18 - 6 = 12 \) см.

Ответ: 18 см и 12 см

4. Второй катет и площадь прямоугольного треугольника:

Один катет \( a = 12 \) см, гипотенуза \( c = 13 \) см.

Найдем второй катет \( b \) по теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \)

\( 12^2 + b^2 = 13^2 \)

\( 144 + b^2 = 169 \)

\( b^2 = 169 - 144 = 25 \)

\( b = \sqrt{25} = 5 \) см.

Площадь треугольника \( S = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} 12 5 = 30 \) см².

Ответ: второй катет 5 см, площадь 30 см²

5. Сторона АС и угол С треугольника АВС:

В треугольнике АВС: \( AB = 12 \) см, \( BC = 18 \) см, \( ∠ B = 70° \).

В треугольнике MNK: \( MN = 6 \) см, \( NK = 9 \) см, \( ∠ N = 70° \).

Сравним стороны треугольников:

\( AB / MN = 12 / 6 = 2 \)

\( BC / NK = 18 / 9 = 2 \)

Так как \( ∠ B = ∠ N = 70° \) и отношения прилежащих сторон равны \( (AB/MN = BC/NK = 2) \), то треугольники подобны по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними).

Следовательно, отношение сторон \( AC / MK = 2 \).

\( AC = 2 MK = 2 7 = 14 \) см.

Углы подобных треугольников соответствуют:

\( ∠ C = ∠ K \).

В треугольнике MNK сумма углов равна 180°. \( ∠ M + ∠ K + ∠ N = 180° \).

\( ∠ K = 180° - ∠ M - ∠ N \). Чтобы найти \( ∠ M \), нам не хватает информации.

В условии задачи есть информация: \( MK = 7 \) см, \( ∠ K = 60° \). Это относится к треугольнику MNK.

В треугольнике MNK: \( ∠ N = 70°, ∠ K = 60° \). Значит, \( ∠ M = 180° - 70° - 60° = 50° \).

Поскольку треугольники ABC и MNK подобны с коэффициентом 2, то \( ∠ C = ∠ K = 60° \) и \( ∠ A = ∠ M = 50° \).

Ответ: сторона АС = 14 см, угол С = 60°

6. Верное утверждение:

1) Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон. — Верно. Площадь квадрата равна стороне в квадрате, а смежные стороны квадрата равны.

2) Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника. — Неверно. Диагональ делит трапецию на два равновеликих (равных по площади) треугольника, но не обязательно равных.

3) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. — Неверно. Это выполняется только если эти стороны и угол между ними равны (признак по двум сторонам и углу между ними) или если это стороны прямоугольного треугольника (по двум катетам или катету и гипотенузе).

Ответ: 1

7. Высота средней опоры:

Высота малой опоры \( h_1 = 2.2 \) м.

Высота большой опоры \( h_2 = 2.8 \) м.

Средняя опора стоит посередине между малыми и большими опорами. Высота средней опоры является средним арифметическим высот малой и большой опор.

Высота средней опоры \( h_{avg} = \frac{h_1 + h_2}{2} = \frac{2.2 + 2.8}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \) м.

Ответ: 2.5 м