1. К окружности с центром О проведены касательные СА и СВ (А и В – точки касания). Найдите ∠АОС, если ∠АСВ = 50°.

Решение:

Четырёхугольник АСВO состоит из двух треугольников: \( \triangle AOC \) и \( \triangle BOC \). Так как СА и СВ — касательные, то \( OA \perp CA \) и \( OB \perp CB \). Следовательно, \( \angle OAC = \angle OBC = 90^{\circ} \).

Сумма углов в четырёхугольнике равна \( 360^{\circ} \). Поэтому в четырёхугольнике АСВO:

\[ \angle AOC + \angle ACB + \angle CBO + \angle OAC = 360^{\circ} \]\[ \angle AOC + 50^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} \]\[ \angle AOC + 230^{\circ} = 360^{\circ} \]\[ \angle AOC = 360^{\circ} - 230^{\circ} = 130^{\circ} \]

Ответ: 130°.