1. К окружности с центром О проведена касательная CD (D — точка касания). Найдите отрезок ОС, если радиус окружности равен 6 см и ∠DCO=30°.

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ODC \).
2. Так как \( CD \) — касательная к окружности, радиус \( OD \) перпендикулярен касательной в точке касания \( D \). Следовательно, \( \angle ODC = 90^{\circ} \).
3. В \( \triangle ODC \) нам известен катет \( OD = 6 \) см (радиус окружности) и угол \( \angle DCO = 30^{\circ} \).
4. Нам нужно найти гипотенузу \( OC \).
5. Используем соотношение сторон в прямоугольном треугольнике: синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
6. \( \sin(\angle DCO) = \frac{OD}{OC} \)
7. \( \sin(30^{\circ}) = \frac{6}{OC} \)
8. Так как \( \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2} \), то \( \frac{1}{2} = \frac{6}{OC} \).
9. Решаем уравнение относительно \( OC \): \( OC = 2 \cdot 6 = 12 \) см.

Ответ: 12 см.