1. Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ, А и В — точки касания, ∠AMB = 70°. Найдите углы треугольника ОВМ.

Решение:

Так как МА и МВ — касательные, проведенные из одной точки, то МО является биссектрисой угла ∠AMB и перпендикуляром к отрезку АВ (если рассматривать треугольник АМВ). Также, радиусы ОА и ОВ перпендикулярны касательным МА и МВ соответственно, то есть ∠ОАМ = ∠ОВМ = 90°.

1. Рассмотрим треугольник ОАМ. Сумма углов треугольника равна 180°. Нам известен угол ∠AMB = 70°, а так как МО — биссектриса, то ∠AMO = ∠AMB / 2 = 70° / 2 = 35°.
2. В прямоугольном треугольнике ОАМ (∠ОАМ = 90°) найдем угол ∠AOM: ∠AOM = 180° - 90° - 35° = 55°.
3. Треугольники ОАМ и ОВМ равны по гипотенузе и острому углу (или по двум катетам, т.к. ОА=ОВ=радиус, а МА=МВ по свойству касательных из одной точки), поэтому ∠OBM = ∠OAM = 90°, ∠OMB = ∠OMA = 35° и ∠BOM = ∠AOM = 55°.
4. Углы треугольника ОВМ: ∠ОВМ = 90°, ∠OMB = 35°, ∠BOM = 55°.

Ответ: ∠ОВМ = 90°, ∠OMB = 35°, ∠BOM = 55°.