1. $$\int(\sqrt{x} + 2x^2 - \frac{1}{x^3})dx$$

Решение:

Для решения данного интеграла, раскроем скобки и проинтегрируем каждый член отдельно:

\( \int(\sqrt{x} + 2x^2 - \frac{1}{x^3})dx = \int(x^{1/2} + 2x^2 - x^{-3})dx \)

Используем правило степенной интеграции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) для каждого члена:

• \( \int x^{1/2} dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2} \)
• \( \int 2x^2 dx = 2 \int x^2 dx = 2 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 2 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{2}{3}x^3 \)
• \( \int x^{-3} dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2}x^{-2} = -\frac{1}{2x^2} \)

Соберем все части вместе, добавив константу интегрирования C:

\( \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{2}{3}x^3 - (-\frac{1}{2x^2}) + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2x^2} + C \)

Можно также записать \( x^{3/2} \) как \( x\sqrt{x} \).

\( \frac{2}{3}x\sqrt{x} + \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2x^2} + C \)

Ответ: \( \frac{2}{3}x\sqrt{x} + \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2x^2} + C \)