1.\(\int\) \(\frac{xdx}{\sqrt{4-x-x^2}}\);

Решение:

Для вычисления данного интеграла:

\[ \int \frac{xdx}{\sqrt{4-x-x^2}} \]\[ = \int \frac{xdx}{\sqrt{-(x^2+x-4)}} \]\[ = \int \frac{xdx}{\sqrt{-( (x+\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - 4 )}} \]\[ = \int \frac{xdx}{\sqrt{\frac{17}{4} - (x+\frac{1}{2})^2}} \]

Сделаем замену переменной. Пусть \( u = x + \frac{1}{2} \), тогда \( x = u - \frac{1}{2} \) и \( dx = du \).

\[ = \int \frac{(u - \frac{1}{2})du}{\sqrt{\frac{17}{4} - u^2}} \]

Разобьем интеграл на два:

\[ = \int \frac{u \, du}{\sqrt{\frac{17}{4} - u^2}} - \frac{1}{2} \int \frac{du}{\sqrt{\frac{17}{4} - u^2}} \]

Для первого интеграла \( \int \frac{u \, du}{\sqrt{\frac{17}{4} - u^2}} \), сделаем подстановку \( v = \frac{17}{4} - u^2 \), тогда \( dv = -2u \, du \), то есть \( u \, du = -\frac{1}{2} dv \).

\[ = \int \frac{-\frac{1}{2} dv}{\sqrt{v}} = -\frac{1}{2} \int v^{-\frac{1}{2}} dv = -\frac{1}{2} \frac{v^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = -\sqrt{v} = -\sqrt{\frac{17}{4} - u^2} \]

Для второго интеграла \( \int \frac{du}{\sqrt{\frac{17}{4} - u^2}} \), применим формулу \( \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin(\frac{x}{a}) \), где \( a = \frac{\sqrt{17}}{2} \).

\[ = \arcsin(\frac{u}{\frac{\sqrt{17}}{2}}) = \arcsin(\frac{2u}{\sqrt{17}}) \]

Собираем все вместе:

\[ = -\sqrt{\frac{17}{4} - u^2} - \frac{1}{2} \arcsin(\frac{2u}{\sqrt{17}}) + C \]

Подставляем обратно \( u = x + \frac{1}{2} \):

\[ = -\sqrt{\frac{17}{4} - (x+\frac{1}{2})^2} - \frac{1}{2} \arcsin(\frac{2(x+\frac{1}{2})}{\sqrt{17}}) + C \]\[ = -\sqrt{\frac{17}{4} - (x^2+x+\frac{1}{4})} - \frac{1}{2} \arcsin(\frac{2x+1}{\sqrt{17}}) + C \]\[ = -\sqrt{\frac{17}{4} - x^2-x-\frac{1}{4}} - \frac{1}{2} \arcsin(\frac{2x+1}{\sqrt{17}}) + C \]\[ = -\sqrt{\frac{16}{4} - x^2-x} - \frac{1}{2} \arcsin(\frac{2x+1}{\sqrt{17}}) + C \]\[ = -\sqrt{4 - x - x^2} - \frac{1}{2} \arcsin(\frac{2x+1}{\sqrt{17}}) + C \]

Ответ: \( -\sqrt{4 - x - x^2} - \frac{1}{2} \arcsin(\frac{2x+1}{\sqrt{17}}) + C \)