1. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, радиус описанной окружности равен 2 см. Найдите периметр и площадь треугольника. 2. Центр описанной окружности лежит на высоте равнобедренного треугольника и делит высоту на отрезки, равные 5 см и 13 см. Найдите площадь треугольника.

Решение:

1. Периметр и площадь прямоугольного треугольника.

1. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна диаметру описанной окружности. В данном случае гипотенуза равна \( 2 \cdot 2 \text{ см} = 4 \text{ см} \). Однако в условии указано, что гипотенуза равна 10 см. Это противоречие. Предположим, что радиус описанной окружности равен 5 см (половине гипотенузы 10 см).
2. По теореме Пифагора найдём второй катет \( b \): \( a^2 + b^2 = c^2 \) \( 10^2 + b^2 = 5^2 \) (Это также приводит к противоречию, так как \( 10^2 \) больше \( 5^2 \)).
3. Условие задачи содержит противоречие. Невозможно построить прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см и радиусом описанной окружности 2 см. Если радиус описанной окружности равен 5 см, то гипотенуза равна 10 см.

2. Площадь равнобедренного треугольника.

1. Пусть высота \( h = 5 \text{ см} + 13 \text{ см} = 18 \text{ см} \).
2. Центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на высоте. Высота делится центром на отрезки \( R \) (радиус описанной окружности) и \( h - R \).
3. Возможны два случая:
• Случай 1: Центр находится между вершиной и основанием. Тогда \( R = 13 \text{ см} \) и отрезок высоты от основания до центра равен \( h - R = 18 \text{ см} - 13 \text{ см} = 5 \text{ см} \).
• Случай 2: Вершина находится между центром и основанием (это невозможно, так как центр описанной окружности всегда лежит внутри остроугольного треугольника, а в равнобедренном треугольнике высота является и медианой, и биссектрисой).
4. Итак, радиус описанной окружности \( R = 13 \text{ см} \), а высота \( h = 18 \text{ см} \).
5. Отрезок от основания до центра равен 5 см.
6. Найдем половину основания \( b/2 \) с помощью теоремы Пифагора, используя прямоугольный треугольник, образованный радиусом \( R \), высотой \( h-R \) и половиной основания \( b/2 \): \( R^2 = (h - R)^2 + (b/2)^2 \) \( 13^2 = 5^2 + (b/2)^2 \) \( 169 = 25 + (b/2)^2 \) \( (b/2)^2 = 169 - 25 = 144 \) \( b/2 = \sqrt{144} = 12 \text{ см} \)
7. Тогда основание \( b = 2 \times 12 \text{ см} = 24 \text{ см} \).
8. Площадь треугольника \( S = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} 24 \text{ см} 18 \text{ см} = 12 \text{ см} 18 \text{ см} = 216 \text{ см}^2 \).

Ответ: 1. Условие содержит противоречие. 2. Площадь треугольника равна 216 см².