1. Докажите, что существует бесконечно много простых чисел вида: 1) 4k +3, 2) 3k+2, 3) 6k +5.

Решение:

1. Простые числа вида 4k + 3:

1. Предположим, что существует конечное число простых чисел вида 4k + 3. Обозначим их как \( p_1, p_2, \dots, p_n \).
2. Рассмотрим число \( N = 4(p_1 p_2 \dots p_n) - 1 \).
3. Если \( N \) простое, то оно либо имеет вид 4k + 3, либо 4k + 1.
4. Если \( N \) имеет вид 4k + 1, то \( 4(p_1 p_2 \dots p_n) - 1 = 4k + 1 \) → \( 4(p_1 p_2 \dots p_n) - 4k = 2 \) → \( 4(p_1 p_2 \dots p_n - k) = 2 \). Это невозможно, так как левая часть делится на 4, а правая — нет.
5. Следовательно, \( N \) должно быть простым числом вида 4k + 3.
6. Если \( N \) составное, то оно имеет простые делители. Произведение простых чисел вида 4k + 1 не может дать число вида 4k + 3. Произведение двух чисел вида 4k + 1 дает число вида 4k + 1. Произведение числа вида 4k + 3 и числа вида 4k + 1 дает число вида 4k + 3. Произведение двух чисел вида 4k + 3 дает число вида 4k + 1.
7. Таким образом, \( N \) должно иметь хотя бы один простой делитель вида 4k + 3, который не входит в исходный набор \( p_1, p_2, \dots, p_n \).
8. Следовательно, существует бесконечно много простых чисел вида 4k + 3.

2. Простые числа вида 3k + 2:

Аналогично пункту 1. Рассматриваем число \( N = 3(p_1 p_2 \dots p_n) - 1 \). Если \( N \) простое, оно либо имеет вид 3k + 2, либо 3k + 1. Если \( N = 3k + 1 \), то \( 3(p_1 p_2 \dots p_n) - 1 = 3k + 1 \) → \( 3(p_1 p_2 \dots p_n - k) = 2 \), что невозможно. Следовательно, \( N \) имеет вид 3k + 2. Если \( N \) составное, оно должно иметь простой делитель вида 3k + 2, отличный от \( p_1, …, p_n \).

3. Простые числа вида 6k + 5:

Любое простое число, кроме 2 и 3, имеет вид 6k + 1 или 6k + 5. Рассмотрим число \( N = 6(p_1 p_2 \dots p_n) - 1 \). Оно может быть простое или составное. Если \( N \) простое, то оно имеет вид 6k + 5 (так как \( 6M - 1 \) не может быть равно \( 6k + 1 \) для целых M, k).

Если \( N \) составное, оно имеет простые делители. Произведение чисел вида 6k + 1 дает число вида 6k + 1. Произведение чисел вида 6k + 5 может дать число вида 6k + 1 (если множителей два) или 6k + 5 (если множителей нечетное число). Таким образом, \( N \) должно иметь хотя бы один простой делитель вида 6k + 5, который не входит в исходный набор \( p_1, …, p_n \). Следовательно, существует бесконечно много простых чисел вида 6k + 5.

Общий вывод: В каждом из случаев, предполагая конечное число простых чисел заданного вида, мы приходим к противоречию, доказывая бесконечность таких чисел.