1. Докажите, что сумма углов треугольника равна 180°. 2. Прямые т и п параллельны. Найдите ∠3, если ∠1 = 22°, ∠2 = 72°. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Доказательство суммы углов треугольника:
   

   Проведем через одну из вершин треугольника (например, В) прямую, параллельную противоположной стороне (АC). Пусть эта прямая будет m. Пусть вершины треугольника будут А, В, С. Углы треугольника: \( \angle BAC \), \( \angle ABC \), \( \angle BCA \).

   
   

   Через вершину В проведем прямую m, параллельную АС. На прямой m отметим точки D и E так, чтобы D, B, E лежали последовательно.

   
   

   \( \angle DBA = \angle BAC \) (как накрест лежащие при параллельных прямых m и АС и секущей АВ).

   
   

   \( \angle EBC = \angle BCA \) (как накрест лежащие при параллельных прямых m и АС и секущей ВС).

   
   

   Угол \( \angle DBE \) является развёрнутым, то есть \( \angle DBE = 180° \).

   
   

   \( \angle DBE = \angle DBA + \angle ABC + \angle EBC \)

   
   

   Подставляем равные углы:

   
   

   \( 180° = \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA \)

   
   

   Таким образом, сумма углов треугольника равна 180°.

   
   


2. Нахождение угла ∠3:
   

   Дано: прямые т и n параллельны. \( \angle 1 = 22° \), \( \angle 2 = 72° \).

   
   

   Прямая m пересекает параллельные прямые т и n. Угол \( \angle 1 \) и угол \( \angle 2 \) являются накрест лежащими углами при пересечении секущей с прямой n. В условии сказано, что прямые т и n параллельны, но рисунок к задаче подразумевает, что \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) являются частями угла, образованного секущей и одной из параллельных прямых.

   
   

   Предположим, что \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — смежные углы, которые вместе с \( \angle 3 \) образуют полный угол в 360°, или что \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) - части какого-то другого угла. Однако, наиболее вероятным является ситуация, когда \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) относятся к одной секущей, пересекающей параллельные прямые.

   
   

   Если \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) являются частями угла, образованного секущей и прямой n, то \( \angle 3 \) будет соответственным углом к углу, образованному \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \).

   
   

   Корректное предположение, исходя из типичных задач:

   
   

   Угол, смежный с \( \angle 3 \), равен сумме \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) (как сумма внешнего угла треугольника, образованного секущей и двумя параллельными линиями).

   
   

   Пусть \( \alpha \) — угол, смежный с \( \angle 3 \). Если \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — части угла, образованного секущей и прямой n, то \( \alpha \) будет углом, накрест лежащим к \( \angle 1 \) + \( \angle 2 \) (если они находятся по разные стороны от секущей). Или, если \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) - это части одного и того же угла, образованного секущей и прямой n, то \( \angle 3 \) будет соответственным.

   
   

   Самый вероятный сценарий: Угол, смежный с \( \angle 3 \), равен \( \angle 1 + \angle 2 \).

   
   

   \( \angle 1 + \angle 2 = 22° + 72° = 94° \). Этот угол является внешним углом относительно треугольника, образованного секущей и параллельными прямыми.

   
   

   \( \angle 3 \) является смежным с этим внешним углом. Значит, \( \angle 3 + 94° = 180° \).

   
   

   \( \angle 3 = 180° - 94° \)

   
   

   \( \angle 3 = 86° \)

   
   

   Ответ: \( \angle 3 = 86° \)