1. Дано: ВО = DO, LABC = 45°, ∠BCD = 55°, ∠AOC = 100° (рис. 5.89). Найти: ∠D. Доказать: ДΑΒΟ = ACDO.

Решение:

1. Доказательство равенства треугольников (ΔABO и ΔCDO):

1. Дано: \( BO = DO \).
2. Дано: \( \angle AOC = 100^{\circ} \). Так как \( \angle AOC \) и \( \angle BOD \) — вертикальные углы, то \( \angle BOD = \angle AOC = 100^{\circ} \).
3. Вертикальные углы: \( \angle AOB \) и \( \angle COD \) — вертикальные углы. Следовательно, \( \angle AOB = \angle COD \).
4. Признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними): По двум сторонам \( BO = DO \) и прилежащему к ним углу \( \angle AOB = \angle COD \) треугольники \( \triangle ABO \) и \( \triangle CDO \) равны.

2. Нахождение угла D:

1. Из равенства треугольников \( \triangle ABO = \triangle CDO \) следует равенство соответствующих углов: \( \angle BAO = \angle DCO \) и \( \angle ABO = \angle CDO \).
2. Нам дано \( \angle ABC = 45^{\circ} \). Так как \( \angle ABO \) является частью \( \angle ABC \), то \( \angle ABO \le \angle ABC \).
3. Угол \( \angle CDO \) равен \( \angle ABO \).
4. Ответ: \( \angle D = \angle ABO \). Точное значение \( \angle D \) не может быть найдено без дополнительной информации, так как \( \angle ABC \) не равен \( \angle ABO \) (если только точка O не лежит на BC, что не указано). Если предположить, что \( \angle ABO = \angle ABC = 45^{\circ} \), то \( \angle D = 45^{\circ} \). Однако, обычно \( \angle ABO \) это часть \( \angle ABC \), поэтому \( \angle D \) будет меньше \( 45^{\circ} \).

Примечание: В условии, вероятно, опечатка, и имелось в виду \( \angle ABO = 45^{\circ} \) или \( \angle ABC = \angle ABO \) и \( \angle BCD = \angle CDO \). Если \( \angle ABO = 45^{\circ} \) (то есть \( \angle ABC \) совпадает с \( \angle ABO \)), то \( \angle D = 45^{\circ} \).