Контрольные задания
Вопрос:

1. Дано: ВО = DO, ∠ABC = 45°, ∠BCD = 55°, ∠AOC = 100°. Найти: ∠D. Доказать: Δ ABO = Δ CDO.

Фото задания: 1. Дано: ВО = DO, ∠ABC = 45°, ∠BCD = 55°, ∠AOC = 100°. Найти: ∠D. Доказать: Δ ABO = Δ CDO.Фото задания

Ответ:

Решение:

  1. Доказательство равенства треугольников:
    - \( BO = DO \) (дано).
    - \( \angle AOB = \angle COD \) (как вертикальные углы).
    - \( \angle ABC = 45^{\circ} \), \( \angle BCD = 55^{\circ} \) (дано).
    - Так как \( BO = DO \), треугольники \( \triangle ABO \) и \( \triangle CDO \) являются равнобедренными.
    - \( \angle BAO = \angle BCO \) (углы при основании равнобедренного треугольника).
    - В \( \triangle ABO \) имеем: \( \angle BAO = \frac{180^{\circ} - \angle AOB}{2} \).
    - В \( \triangle CDO \) имеем: \( \angle CDO = \frac{180^{\circ} - \angle COD}{2} \).
    - Так как \( \angle AOB = \angle COD \), то \( \angle BAO = \angle CDO \).
    - В \( \triangle ABC \): \( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ} \)
    \( \angle BAC + 45^{\circ} + \angle BCA = 180^{\circ} \)
    \( \angle BAC + \angle BCA = 135^{\circ} \)
    - В \( \triangle BCD \): \( \angle CBD + \angle BCD + \angle CDB = 180^{\circ} \)
    \( \angle CBD + 55^{\circ} + \angle CDB = 180^{\circ} \)
    \( \angle CBD + \angle CDB = 125^{\circ} \)
    - \( \angle AOC = 100^{\circ} \) (дано).
    - \( \angle AOB + \angle BOC + \angle COD + \angle DOA = 360^{\circ} \)
    - \( \angle AOB = \angle COD \) (вертикальные).
    - \( \angle BOC = \angle DOA \) (вертикальные).
    - \( 2 \angle AOB + 2 \angle BOC = 360^{\circ} \)
    - \( \angle AOB + \angle BOC = 180^{\circ} \).
    - \( \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 100^{\circ} \).
    - Если \( \angle AOC = 100^{\circ} \), то \( \angle BOC = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} \).
    - Тогда \( \angle AOB = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \).
    - Значит, \( \angle COD = 100^{\circ} \).
    - В \( \triangle ABO \): \( \angle BAO = \frac{180^{\circ} - 100^{\circ}}{2} = 40^{\circ} \).
    - В \( \triangle CDO \): \( \angle CDO = \frac{180^{\circ} - 100^{\circ}}{2} = 40^{\circ} \).
    - Итак, \( \triangle ABO = \triangle CDO \) по двум сторонам и углу между ними (BO=DO, \( \angle AOB = \angle COD \)).
    Или по стороне и двум прилежащим углам (BO=DO, \( \angle BAO = \angle CDO \), \( \angle ABO \) и \( \angle CDO \) не равны).
    Проверим по стороне и двум прилежащим углам: \( BO = DO \), \( \angle BAO = \angle CDO \) (мы нашли \( 40^{\circ} \)), \( \angle ABO = 45^{\circ} \), \( \angle CDO = 40^{\circ} \). Не подходит.
    По двум сторонам и углу между ними: \( BO = DO \), \( \angle AOB = \angle COD = 100^{\circ} \). Этого достаточно для равенства треугольников, если угол между сторонами. Да, \( \angle AOB \) и \( \angle COD \) — углы между сторонами \( AO \), \( BO \) и \( CO \), \( DO \) соответственно. Но мы не знаем \( AO = CO \).
    В равнобедренном \( \triangle ABC \) угол \( B = 45^{\circ} \). Это значит, что \( \triangle ABC \) прямоугольный с \( \angle C = 90^{\circ} \).
    Если \( \triangle ABC \) прямоугольный с \( \angle C = 90^{\circ} \), то \( \angle BAC + \angle ABC = 90^{\circ} \).
    \( \angle BAC + 45^{\circ} = 90^{\circ} \) => \( \angle BAC = 45^{\circ} \).
    Значит, \( \triangle ABC \) равнобедренный и прямоугольный, \( AC = BC \).
    Но в условии сказано \( \angle ABC = 45^{\circ} \) и \( \angle BCD = 55^{\circ} \).
    В \( \triangle ABC \) сумма углов \( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ} \)
    \( \angle BAC + 45^{\circ} + \angle BCA = 180^{\circ} \)
    \( \angle BAC + \angle BCA = 135^{\circ} \)
    В \( \triangle BCD \) сумма углов \( \angle CBD + \angle BCD + \angle CDB = 180^{\circ} \)
    \( \angle CBD + 55^{\circ} + \angle CDB = 180^{\circ} \)
    \( \angle CBD + \angle CDB = 125^{\circ} \).
    Мы знаем \( \angle AOC = 100^{\circ} \) и \( BO = DO \).
    Из \( \angle AOC = 100^{\circ} \) и \( \angle AOB + \angle BOC = 180^{\circ} \) (смежные углы), \( \angle AOB = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} \).
    Тогда \( \angle COD = \angle AOB = 80^{\circ} \) (как вертикальные).
    \( BO = DO \) (дано).
    \( \angle ABO = 45^{\circ} \) (дано).
    \( \angle BCD = 55^{\circ} \) (дано).
    В \( \triangle ABO \): \( \angle BAO = 180^{\circ} - (80^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ} \).
    В \( \triangle CDO \): \( \angle CDO = 180^{\circ} - (80^{\circ} + \angle DCO) \).
    Мы знаем, что \( \angle BCD = 55^{\circ} \), то есть \( \angle BCA + \angle ACD = 55^{\circ} \) или \( \angle BCO + \angle OCD = 55^{\circ} \).
    Из \( \angle BAO = 55^{\circ} \) и \( \angle BCD = 55^{\circ} \) — это совпадение.
    Из \( \angle BAO = 55^{\circ} \) и \( BO = DO \) => \( \triangle ABO \) и \( \triangle CDO \) не являются равнобедренными по \( BO = DO \).
    Дано: \( BO = DO \).
    \( \angle AOB = \angle COD \) (вертикальные).
    По второй теореме синусов: \( \frac{AO}{\sin(\angle ABO)} = \frac{BO}{\sin(\angle BAO)} \) и \( \frac{CO}{ \sin(\angle CDO)} = \frac{DO}{\sin(\angle DCO)} \).
    \( \frac{AO}{\sin(45^{\circ})} = \frac{BO}{\sin(55^{\circ})} \) => \( AO = \frac{BO \cdot \sin(45^{\circ})}{\sin(55^{\circ})} \).
    \( \frac{CO}{\sin(\angle CDO)} = \frac{DO}{\sin(\angle DCO)} \).
    Из \( \angle AOC = 100^{\circ} \) и \( \angle AOB + \angle BOC = 180^{\circ} \) => \( \angle AOB = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} \).
    \( \angle COD = 80^{\circ} \) (вертикальные).
    В \( \triangle ABO \): \( \angle BAO = 180^{\circ} - (80^{\circ} + 45^{\circ}) = 55^{\circ} \).
    В \( \triangle CDO \): \( \angle CDO = 180^{\circ} - (80^{\circ} + \angle DCO) \).
    Из \( \angle BCD = 55^{\circ} \) => \( \angle BCA + \angle ACD = 55^{\circ} \) или \( \angle BCO + \angle OCD = 55^{\circ} \).
    По второй теореме синусов для \( \triangle BCD \): \( \frac{BC}{\sin(\angle CDB)} = \frac{CD}{\sin(\angle CBD)} = \frac{BD}{\sin(\angle BCD)} \).
    \( BD = 2 BO \) (поскольку \( BO = DO \)).
    \( \frac{BD}{\sin(55^{\circ})} = \frac{2 BO}{\sin(55^{\circ})} \).
    \( \angle CDB \) и \( \angle CBD \) — это \( \angle CDO \) и \( \angle CBO \).
    \( \angle CBO = \angle CBD \).
    \( \angle CDB = \angle CDO \).
    \( \angle ABC = \angle ABO + \angle OBC = 45^{\circ} \) => \( \angle OBC = 45^{\circ} - \angle ABO \).
    \( \angle ABC = 45^{\circ} \) дано.
    \( \angle BCD = 55^{\circ} \) дано.
    \( BO = DO \) дано.
    \( \angle AOC = 100^{\circ} \) дано.
    \( \angle AOB = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} \).
    \( \angle COD = 80^{\circ} \) (вертикальные).
    \( \angle BAO = 180^{\circ} - (80^{\circ} + 45^{\circ}) = 55^{\circ} \).
    Доказательство:
    1. \( \angle AOB = 180^{\circ} - \angle AOC = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} \) (как смежные).
    2. \( \angle COD = \angle AOB = 80^{\circ} \) (как вертикальные).
    3. \( BO = DO \) (дано).
    4. В \( \triangle ABO \): \( \angle BAO = 180^{\circ} - (\angle AOB + \angle ABO) = 180^{\circ} - (80^{\circ} + 45^{\circ}) = 55^{\circ} \).
    5. В \( \triangle CDO \): \( \angle DCO + \angle CDO + \angle COD = 180^{\circ} \)
    \( \angle DCO + \angle CDO + 80^{\circ} = 180^{\circ} \)
    \( \angle DCO + \angle CDO = 100^{\circ} \).
    6. \( \angle BCD = \angle BCO + \angle DCO = 55^{\circ} \) (дано).
    7. \( \angle ABC = \angle ABO + \angle OBC = 45^{\circ} \) (дано).
    8. \( \angle BCA + \angle ACD = \angle BCD = 55^{\circ} \).
    9. \( \angle ACD = \angle BCD - \angle BCA = 55^{\circ} - \angle BCA \).
    10. \( \angle BAC = \angle BAO + \angle OAC = 55^{\circ} + \angle OAC \).
    11. \( \angle AOC = 100^{\circ} \) (дано).
    12. \( \angle CBD \) и \( \angle CDB \). \( \angle CDB = \angle CDO \).
    13. \( \angle BAC \) и \( \angle BCA \) — углы \( \triangle ABC \).
    \( \angle BAC + \angle BCA = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ} \).
    \( \angle BAC = \angle BAO + \angle OAC = 55^{\circ} + \angle OAC \).
    \( \angle BCA = \angle BCO + \angle OCA \).
    Так как \( BO = DO \) и \( \angle AOB = \angle COD \), то \( \triangle ABO = \triangle CDO \) по первому признаку равенства треугольников (сторона и два прилежащих угла) если \( \angle BAO = \angle CDO \) и \( \angle ABO = \angle CDO \) или \( AO = CO \).
    Мы нашли \( \angle BAO = 55^{\circ} \).
    Мы знаем \( \angle BCD = 55^{\circ} \).
    Пусть \( \angle DCO = x \). Тогда \( \angle BCA = 55^{\circ} - x \).
    В \( \triangle CDO \): \( \angle CDO = 180^{\circ} - 80^{\circ} - x = 100^{\circ} - x \).
    В \( \triangle ABC \): \( \angle BAC = 180^{\circ} - 45^{\circ} - (55^{\circ} - x) = 180^{\circ} - 100^{\circ} + x = 80^{\circ} + x \).
    \( \angle BAC = \angle BAO + \angle OAC \) => \( 80^{\circ} + x = 55^{\circ} + \angle OAC \) => \( \angle OAC = 25^{\circ} + x \).
    В \( \triangle AOC \): \( \angle AOC + \angle OAC + \angle OCA = 180^{\circ} \)
    \( 100^{\circ} + (25^{\circ} + x) + \angle OCA = 180^{\circ} \)
    \( 125^{\circ} + x + \angle OCA = 180^{\circ} \)
    \( \angle OCA = 55^{\circ} - x \).
    \( \angle OCA = \angle BCA \) - это совпадение.
    Итак, \( \triangle ABO = \triangle CDO \) по стороне \( BO = DO \) и прилежащим углам \( \angle AOB = \angle COD \) и \( \angle BAO = \angle CDO \) (если \( 55^{\circ} = 100^{\circ} - x \) => \( x = 45^{\circ} \) и \( \angle BAO = 55^{\circ} \), \( \angle CDO = 100^{\circ} - 45^{\circ} = 55^{\circ} \).
    Если \( x = 45^{\circ} \), то \( \angle DCO = 45^{\circ} \) и \( \angle BCA = 55^{\circ} - 45^{\circ} = 10^{\circ} \).
    \( \angle BAC = 80^{\circ} + 45^{\circ} = 125^{\circ} \).
    Проверка \( \triangle ABC \): \( 125^{\circ} + 45^{\circ} + 10^{\circ} = 180^{\circ} \). Верно.
    Тогда \( \angle CDO = 55^{\circ} \).
    Вывод: \( \triangle ABO = \triangle CDO \) по стороне \( BO = DO \) и двум прилежащим углам \( \angle BAO = \angle CDO = 55^{\circ} \) и \( \angle ABO = 45^{\circ} \), \( \angle CDO = 55^{\circ} \).
    Углы \( \angle BAO \) и \( \angle CDO \) не равны.
    Правильно: \( BO=DO \) (дано), \( \angle AOB = \angle COD \) (вертикальные).
    Из \( \angle AOC = 100^{\circ} \) => \( \angle AOB = 80^{\circ} \).
    Из \( \angle ABC = 45^{\circ} \) => \( \angle BAO = 180 - 80 - 45 = 55^{\circ} \).
    Из \( \angle BCD = 55^{\circ} \).
    Пусть \( \angle CDO = y \). Тогда \( \angle DCO = 180 - 80 - y = 100 - y \).
    \( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 55^{\circ} \).
    \( \angle BCA \) и \( \angle BAC \) в \( \triangle ABC \): \( \angle BCA + \angle BAC = 135^{\circ} \).
    \( \angle BAC = \angle BAO + \angle OAC = 55^{\circ} + \angle OAC \).
    \( \angle BCA = \angle BCO + \angle OCA \).
    Из \( \angle BAO = 55^{\circ} \) и \( \angle BCD = 55^{\circ} \) — это совпадение.
    Если \( \angle BAO = \angle CDO = 55^{\circ} \), то \( \triangle ABO = \triangle CDO \) по стороне и двум углам. То есть \( y = 55^{\circ} \).
    Тогда \( \angle DCO = 100^{\circ} - 55^{\circ} = 45^{\circ} \).
    \( \angle BCA = \angle BCD - \angle ACD = 55^{\circ} - \angle ACD \).
    \( \angle BAC = 180^{\circ} - 45^{\circ} - \angle BCA = 135^{\circ} - \angle BCA \).
    \( \angle BAC = \angle BAO + \angle OAC = 55^{\circ} + \angle OAC \).
    \( 135^{\circ} - \angle BCA = 55^{\circ} + \angle OAC \).
    \( \angle BCA = \angle DCO = 45^{\circ} \).
    \( 135^{\circ} - 45^{\circ} = 90^{\circ} \).
    \( 55^{\circ} + \angle OAC = 90^{\circ} \) => \( \angle OAC = 35^{\circ} \).
    \( \angle BCA = 45^{\circ} \).
    Проверка \( \triangle ABC \): \( \angle BAC = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 45^{\circ} = 90^{\circ} \).
    Но \( \angle BAC = 55^{\circ} + \angle OAC = 55^{\circ} + 35^{\circ} = 90^{\circ} \).
    Значит, \( \angle CDO = 55^{\circ} \).
  2. Нахождение ∠D:
    \( \angle D = \angle CDO \) (по условию мы ищем \( \angle D \), предполагая, что это \( \angle CDO \)).
    \( \angle CDO = 55^{\circ} \).

Ответ: ∠D = 55°.