1. Дано: ∠B = ∠C = 90°, ∠ADC = 50°, ∠ADB = 40° (рис. 5.93). Доказать: ΔABD = ΔDCA.

Решение:

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABD \) и \( \triangle DCA \). Из условия нам известно, что \( \angle B = \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle ADC = 50^{\circ} \) и \( \angle ADB = 40^{\circ} \).

В треугольнике \( \triangle ABD \):

\( \angle BAD = 180^{\circ} - \angle B - \angle ADB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ} \).

В треугольнике \( \triangle DCA \):

\( \angle DAC = \angle ADC - \angle ADB = 50^{\circ} - 40^{\circ} = 10^{\circ} \).

\( \angle CAD = 180^{\circ} - \angle C - \angle DAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 10^{\circ} = 80^{\circ} \).

Теперь сравним углы треугольников:

\( \angle BAD = 50^{\circ} \) в \( \triangle ABD \) и \( \angle DAC = 10^{\circ} \) в \( \triangle DCA \).

\( \angle ADB = 40^{\circ} \) в \( \triangle ABD \) и \( \angle ADC = 50^{\circ} \) в \( \triangle DCA \).

\( \angle ABD = 90^{\circ} \) в \( \triangle ABD \) и \( \angle DCA = 90^{\circ} \) в \( \triangle DCA \).

Для равенства треугольников \( \triangle ABD \) и \( \triangle DCA \) необходимо, чтобы соответствующие углы и стороны были равны. Мы видим, что \( \angle BAD \) в \( \triangle ABD \) не равен \( \angle DCA \) в \( \triangle DCA \), и \( \angle ADB \) в \( \triangle ABD \) не равен \( \angle DAC \) в \( \triangle DCA \).

Для равенства треугольников \( \triangle ABD \) и \( \triangle DCA \) по первому признаку (по двум углам и стороне между ними), нам нужно проверить равенство сторон. Мы знаем, что сторона \( AD \) является общей для обоих треугольников. Если \( \angle BAD = \angle CDA \) и \( \angle ADB = \angle DAC \), то треугольники будут равны.

В нашем случае:

\( \angle BAD = 50^{\circ} \)

\( \angle CDA = 50^{\circ} \)

\( \angle ADB = 40^{\circ} \)

\( \angle CAD = 10^{\circ} \) (не \( \angle ADC \), а \( \angle CAD \) из \( \triangle ACD \) ).

\( \angle DAC = 10^{\circ} \) (из \( \triangle ACD \)).

\( \angle ADC = 50^{\circ} \) (дано)

\( \angle ADB = 40^{\circ} \) (дано)

\( \angle BDC = \angle ADC - \angle ADB = 50^{\circ} - 40^{\circ} = 10^{\circ} \).

В \( \triangle ABD \): \( \angle BAD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ} \).

В \( \triangle DCA \): \( \angle CAD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 10^{\circ} = 80^{\circ} \).

Таким образом, \( \angle BAD = 50^{\circ} \) и \( \angle ADC = 50^{\circ} \) (данные углы равны). Также \( \angle ABD = 90^{\circ} \) и \( \angle DCA = 90^{\circ} \) (дано).

Общая сторона \( AD \) для \( \triangle ABD \) и \( \triangle DCA \).

Если два угла и сторона между ними равны, то треугольники равны. Однако, нам даны \( \angle ADC = 50^{\circ} \) и \( \angle ADB = 40^{\circ} \). Из этого следует, что \( \angle BDC = 50^{\circ} - 40^{\circ} = 10^{\circ} \).

В \( \triangle ABD \): \( \angle BAD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ} \).

В \( \triangle DCA \): \( \angle CAD = \angle ADC - \angle ADB = 50^{\circ} - 40^{\circ} = 10^{\circ} \). Тогда \( \angle ACD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 10^{\circ} = 80^{\circ} \) - это неверно, так как \( \angle C = 90^{\circ} \).

Давайте вернемся к условиям равенства треугольников. Нам дано \( \angle B = 90^{\circ} \) и \( \angle C = 90^{\circ} \). Также дано \( \angle ADC = 50^{\circ} \) и \( \angle ADB = 40^{\circ} \). Следовательно, \( \angle BDC = \angle ADC - \angle ADB = 50^{\circ} - 40^{\circ} = 10^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle ABD \). \( \angle BAD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle DCA \). \( \angle CAD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle DAC_{in\ DCA} \). Мы не знаем \( \angle DAC \) напрямую.

Однако, мы знаем, что \( \angle BAD = 50^{\circ} \) и \( \angle ADC = 50^{\circ} \). Это означает, что \( \angle BAD = \angle ADC \).

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABD \) и \( \triangle DCA \).

1. \( \angle ABD = \angle DCA = 90^{\circ} \) (дано).

2. Сторона \( AD \) - общая для обоих треугольников.

3. \( \angle BAD = 50^{\circ} \) (найдено в \( \triangle ABD \)) и \( \angle ADC = 50^{\circ} \) (дано). Следовательно, \( \angle BAD = \angle ADC \).

Если два угла и сторона, прилежащая к ним, равны, то треугольники равны (второй признак равенства треугольников). Однако, у нас не сторона между углами.

Давайте попробуем использовать признак равенства по стороне и двум прилежащим углам. Мы имеем общую сторону \( AD \).

В \( \triangle ABD \): \( \angle ADB = 40^{\circ} \), \( \angle BAD = 50^{\circ} \).

В \( \triangle DCA \): \( \angle DAC \) и \( \angle ACD = 90^{\circ} \).

Мы знаем, что \( \angle ADC = 50^{\circ} \) и \( \angle ADB = 40^{\circ} \). Следовательно, \( \angle BDC = 10^{\circ} \).

Также \( \angle BAD = 50^{\circ} \).

В \( \triangle DCA \) : \( \angle DAC = \angle ADC - \angle ADB = 50^{\circ} - 40^{\circ} = 10^{\circ} \) - это неверно, \( \angle ADB \) не является частью \( \angle ADC \) в \( \triangle DCA \).

Из \( \angle ADC = 50^{\circ} \) и \( \angle ADB = 40^{\circ} \), мы можем найти \( \angle BDC = \angle ADC - \angle ADB = 50^{\circ} - 40^{\circ} = 10^{\circ} \).

В \( \triangle ABD \): \( \angle BAD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ} \).

В \( \triangle DCA \): \( \angle CAD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle ACD \). Мы не можем найти \( \angle CAD \) напрямую.

Перепроверим данное: \( \angle B = 90^{\circ} \), \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle ADC = 50^{\circ} \), \( \angle ADB = 40^{\circ} \).

Из \( \angle ADC = 50^{\circ} \) и \( \angle ADB = 40^{\circ} \) следует, что \( \angle BDC = 50^{\circ} - 40^{\circ} = 10^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle ABD \): \( \angle BAD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle DCA \): \( \angle CAD = \angle ADC - \angle ADB \) - это не совсем верно. \( \angle CAD \) является частью \( \angle ADC \) только если B лежит на AC, что не так.

В \( \triangle DCA \): \( \angle DAC \) и \( \angle ACD = 90^{\circ} \). Нам нужно найти \( \angle DAC \).

Мы имеем: \( \angle BAD = 50^{\circ} \) и \( \angle ADC = 50^{\circ} \). Это означает, что \( \angle BAD = \angle ADC \).

Теперь проверим признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам. Нам дана общая сторона \( AD \).

В \( \triangle ABD \): \( \angle ADB = 40^{\circ} \) и \( \angle BAD = 50^{\circ} \).

В \( \triangle DCA \): \( \angle DAC \) и \( \angle ACD = 90^{\circ} \).

У нас есть \( \angle BAD = 50^{\circ} \) и \( \angle ADC = 50^{\circ} \).

В \( \triangle ABD \): \( \angle ABD = 90^{\circ} \), \( \angle ADB = 40^{\circ} \), \( \angle BAD = 50^{\circ} \).

В \( \triangle DCA \): \( \angle DCA = 90^{\circ} \), \( \angle ADC = 50^{\circ} \). Значит, \( \angle DAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ} \).

Теперь сравним углы и стороны:

1. \( \angle ABD = 90^{\circ} \) и \( \angle DCA = 90^{\circ} \).

2. \( \angle BAD = 50^{\circ} \) и \( \angle ADC = 50^{\circ} \).

3. \( \angle ADB = 40^{\circ} \) и \( \angle DAC = 40^{\circ} \).

Мы видим, что \( \angle ADB = \angle DAC = 40^{\circ} \). И \( \angle BAD = \angle ADC = 50^{\circ} \). И \( \angle ABD = \angle DCA = 90^{\circ} \).

Так как все три угла соответственно равны, а сторона \( AD \) является общей, то треугольники \( \triangle ABD \) и \( \triangle DCA \) равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).

Доказано.