1. Дано: а ⊥ (АВС), Δ АВС – прямоугольный, ∠C=90°. Доказать: Δ МСВ - прямоугольный. 2. ABCD A₁B₁C₁D₁ – правильная призма. AB = 6см, AA₁= 8см. Найти: а) угол между прямыми AA₁ и BC; б) площадь полной поверхности призмы. 3. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 2√3 см, а высота равна 2 см. Найти угол наклона бокового ребра к плоскости основания. Ответ запишите в градусах. 4. Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом в 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 56 см². Найти площадь полной поверхности призмы.

1. Доказательство

Дано: а ⊥ (АВС), Δ АВС – прямоугольный, ∠C=90°.
Доказать: Δ МСВ - прямоугольный.

Доказательство:

1. По условию, прямая а перпендикулярна плоскости (АВС).
2. Так как прямая а перпендикулярна плоскости (АВС), то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения.
3. Прямая а проходит через точку М и лежит в плоскости (АВС), значит, а ⊥ МС.
4. Так как а ⊥ МС, и а ⊥ АВ (по условию, a ⊥ (ABC)), то прямая а перпендикулярна плоскости (АВС).
5. Прямая а проходит через точку М.
6. Прямая МС лежит в плоскости (АВС).
7. Прямая МВ лежит в плоскости (АВС).
8. MC ⊥ a.
9. MB ⊥ a.
10. Так как MC ⊥ a и MB ⊥ a, то прямая а является биссектрисой угла ∠CMB. (Это неверно, мы должны доказать, что Δ МСВ прямоугольный)
11. Переформулируем:
12. По условию, прямая а перпендикулярна плоскости (АВС).
13. Прямая а проходит через точку М.
14. Прямая СМ лежит в плоскости (АВС).
15. Так как а ⊥ (АВС), то а ⊥ СМ.
16. Прямая СВ лежит в плоскости (АВС).
17. Так как а ⊥ (АВС), то а ⊥ СВ.
18. Рассмотрим треугольник МСВ.
19. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости.
20. Условие задачи неполное. Не указано, что прямая а проходит через точку С.
21. Предположим, что прямая а проходит через точку С. Тогда:
22. Дано: Прямая а проходит через точку С, а ⊥ (АВС), Δ АВС – прямоугольный, ∠C=90°. Доказать: Δ МСВ - прямоугольный.
23. Доказательство:
24. По условию, а ⊥ (АВС).
25. Прямая СМ лежит в плоскости (АВС).
26. Поскольку а ⊥ (АВС), то а ⊥ СМ.
27. Прямая СВ лежит в плоскости (АВС).
28. Поскольку а ⊥ (АВС), то а ⊥ СВ.
29. Так как прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым СМ и СВ в плоскости (АВС), то прямая а перпендикулярна плоскости (АВС). (Это уже дано).
30. Нам нужно доказать, что Δ МСВ прямоугольный.
31. Предположим, что M ∈ a.
32. Тогда a ⊥ MC и a ⊥ CB.
33. Если a ⊥ MC и a ⊥ CB, то MC ⊥ CB.
34. Если MC ⊥ CB, то угол ∠MCB = 90°.
35. В треугольнике МСВ, угол ∠MCB = 90°. Следовательно, Δ МСВ – прямоугольный.

Доказано.

2. Решение

Дано: ABCD A₁B₁C₁D₁ – правильная призма. AB = 6 см, AA₁= 8 см.

Найти: а) угол между прямыми AA₁ и BC; б) площадь полной поверхности призмы.

Решение:

а) Угол между прямыми AA₁ и BC:

1. Так как ABCD – правильная призма, то ABCD – квадрат, и BC || AD.
2. Прямая AA₁ параллельна прямой B₁B, C₁C, D₁D.
3. Так как ABCD – основание призмы, то BC является стороной квадрата.
4. AA₁ – боковое ребро призмы.
5. В правильной призме боковые ребра перпендикулярны основаниям. Следовательно, AA₁ ⊥ AB и AA₁ ⊥ AD.
6. Угол между прямыми AA₁ и BC.
7. AA₁ || BB₁.
8. BC лежит в основании ABCD.
9. Угол между AA₁ и BC равен углу между BB₁ и BC.
10. В основании ABCD, AB = BC = CD = DA = 6 см.
11. Угол ∠ABC = 90° (так как основание – квадрат).
12. Рассмотрим треугольник ABC.
13. Переосмыслим:
14. В правильной призме боковые ребра параллельны и перпендикулярны основаниям.
15. AA₁ ⊥ плоскости основания ABCD.
16. BC лежит в плоскости основания ABCD.
17. Следовательно, AA₁ ⊥ BC.
18. Угол между перпендикулярной прямой и прямой в плоскости равен 90°.

Ответ: а) 90°.

б) Площадь полной поверхности призмы:

1. Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности: S_полн. = 2 * S_осн. + S_бок.
2. Основанием призмы является квадрат ABCD со стороной AB = 6 см.
3. Площадь основания: S_осн. = AB² = 6² = 36 см².
4. Боковая поверхность состоит из четырех прямоугольников со сторонами AB=6 см и AA₁=8 см.
5. Площадь боковой поверхности: S_бок. = Периметр основания * Высота = (4 * AB) * AA₁ = (4 * 6) * 8 = 24 * 8 = 192 см².
6. Площадь полной поверхности: S_полн. = 2 * 36 + 192 = 72 + 192 = 264 см².

Ответ: б) 264 см².

3. Решение

Дано: Правильная треугольная пирамида. Сторона основания a = 2√3 см, высота h = 2 см.

Найти: Угол наклона бокового ребра к плоскости основания.

Решение:

1. Пусть вершина пирамиды — S, центр основания — O. Основание — равносторонний треугольник ABC.
2. Высота пирамиды SO = h = 2 см.
3. Сторона основания a = 2√3 см.
4. Найдем радиус описанной окружности около основания (R) — это расстояние от центра основания до вершины треугольника основания.
5. В равностороннем треугольнике высота (h_осн.) равна: \( h_{осн.} = \frac{a\[ \text{sqrt} \(3\)]}{2} = \(\frac\){2\[ \(\text{sqrt}\) \(3\)] \(\cdot\) \(\sqrt{3}\)}{2} = \(\frac{2 \cdot 3}{2}\) = 3 \) см.
6. Радиус описанной окружности R = \( \frac{2}{3} \) * h_осн. = \( \frac{2}{3} \) * 3 = 2 см.
7. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOC, где OC = R = 2 см, SO = h = 2 см.
8. Угол наклона бокового ребра (SC) к плоскости основания — это угол ∠SCO.
9. В прямоугольном треугольнике SOC:
10. tg(∠SCO) = \( \frac{SO}{OC} = \frac{2}{2} = 1 \).
11. Если тангенс угла равен 1, то сам угол равен 45°.

Ответ: 45°.

4. Решение

Дано: Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 56 см².

Найти: Площадь полной поверхности призмы.

Решение:

1. Найдем третью сторону основания (c) по теореме косинусов:
2. \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha) \)
3. \( c^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cos(120°) \)
4. \( c^2 = 25 + 9 - 30 \cdot (-\frac{1}{2}) \)
5. \( c^2 = 34 + 15 = 49 \)
6. \( c = \sqrt{49} = 7 \) см.
7. Стороны основания: 5 см, 3 см, 7 см.
8. Пусть высота призмы равна H.
9. Площади боковых граней равны:
10. S₁ = 5 * H
11. S₂ = 3 * H
12. S₃ = 7 * H
13. Наибольшая из площадей боковых граней равна 56 см². Это соответствует наибольшей стороне основания, т.е. 7 см.
14. 7 * H = 56 см²
15. H = \( \frac{56}{7} \) = 8 см.
16. Высота призмы H = 8 см.
17. Найдем площадь основания (S_осн.). Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними:
18. S_осн. = \( \frac{1}{2} \) * a * b * sin(α) = \( \frac{1}{2} \) * 5 * 3 * sin(120°)
19. S_осн. = \( \frac{15}{2} \) * \( \frac{\[ \text{sqrt} \(3\)]}{2} \) = \( \frac{15\[ \text{sqrt} \(3\)]}{4} \) см².
20. Площадь боковой поверхности (S_бок.) равна сумме площадей боковых граней:
21. S_бок. = S₁ + S₂ + S₃ = 5H + 3H + 7H = (5+3+7)H = 15H = 15 * 8 = 120 см².
22. Площадь полной поверхности призмы (S_полн.) равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности:
23. S_полн. = 2 * S_осн. + S_бок.
24. S_полн. = 2 * \( \frac{15\[ \text{sqrt} \(3\)]}{4} \) + 120 = \( \frac{15\[ \text{sqrt} \(3\)]}{2} \) + 120 см².

Ответ: \( 120 + \frac{15\[ \text{sqrt} \(3\)]}{2} \) см².