1. Через точку А окружности проведены диаметр АС и две хорды АВ и AD, равные радиусу этой окружности. Найдите углы четырёхугольника ABCD и градусные меры дуг АВ, ВС, CD, AD.

1. Так как AB = AD = радиус, то треугольники AOB и AOD равносторонние (где O - центр окружности). Следовательно, дуги AB и AD равны 60°.

2. Угол ABC является вписанным и опирается на дугу ADC. Дуга ADC = дуга AD + дуга DC. Так как AC - диаметр, то дуга ABC = 180°. Дуга BC = 180° - 60° = 120°.

3. Угол ADC опирается на дугу ABC, значит, угол ADC = 180°/2 = 90°.

4. Угол ABC опирается на дугу ADC = дуга AD + дуга DC. Дуга DC = 180° - дуга BC = 180° - 120° = 60°.

5. Угол ABC = (дуга AD + дуга DC)/2 = (60° + 60°)/2 = 60°.

6. Угол BCD опирается на дугу BAD = дуга BA + дуга AD = 60° + 60° = 120°. Угол BCD = 120°/2 = 60°.

7. Угол BAD = угол BAC + угол CAD. Угол BAC = 60°, угол CAD = 60°. Угол BAD = 120°.

Ответ: Углы ABCD: ∠A=120°, ∠B=60°, ∠C=60°, ∠D=90°. Дуги: дуга AB = 60°, дуга BC = 120°, дуга CD = 60°, дуга AD = 60°.