1) Боковое ребро и высота правильной треугольной пирамиды соответственно равны \(3\sqrt{2}\) и \(\sqrt{6}\) см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Дано: боковое ребро \(l=3\sqrt{2}\) см, высота \(h=\sqrt{6}\) см.

1. В правильной треугольной пирамиде проекция бокового ребра на основание равна радиусу описанной окружности основания \(R\). Поэтому
   \(l^2=h^2+R^2\).
2. Найдём \(R\):
   \(R^2=(3\sqrt{2})^2-(\sqrt{6})^2=18-6=12\),
   \(R=2\sqrt{3}\) см.
3. Для равностороннего треугольника \(R=\dfrac{a}{\sqrt{3}}\), поэтому
   \(a=R\sqrt{3}=2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=6\) см.
4. Апофема пирамиды равна высоте боковой грани:
   \(m=\sqrt{l^2-\left(\dfrac a2\right)^2}=\sqrt{18-9}=3\) см.
5. Площадь боковой поверхности:
   \(S_{\text{бок}}=\dfrac12\cdot 3a\cdot m=\dfrac12\cdot18\cdot3=27\text{ см}^2\).

Ответ: \(27\text{ см}^2\).