1) ∠ABC = 70°, ∠ACB = 56°. Найдите ∠COB, ∠AOB, ∠AOC.

Решение:

В треугольнике ABC, сумма углов равна 180°. Найдем угол ∠BAC:

• ∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 70° - 56° = 54°.

Центр вписанной окружности (O) является точкой пересечения биссектрис. Рассмотрим треугольник BOC:

• Угол ∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB).
• Так как BO и CO — биссектрисы, то ∠OBC = ∠ABC / 2 = 70° / 2 = 35°, и ∠OCB = ∠ACB / 2 = 56° / 2 = 28°.
• ∠BOC = 180° - (35° + 28°) = 180° - 63° = 117°.

Аналогично, найдем углы ∠AOB и ∠AOC:

• ∠OAB = ∠BAC / 2 = 54° / 2 = 27°.
• ∠OBA = ∠ABC / 2 = 70° / 2 = 35°.
• ∠AOB = 180° - (∠OAB + ∠OBA) = 180° - (27° + 35°) = 180° - 62° = 118°.
• ∠OAC = ∠BAC / 2 = 54° / 2 = 27°.
• ∠OCA = ∠ACB / 2 = 56° / 2 = 28°.
• ∠AOC = 180° - (∠OAC + ∠OCA) = 180° - (27° + 28°) = 180° - 55° = 125°.

Проверка: Сумма углов ∠AOB + ∠BOC + ∠AOC = 118° + 117° + 125° = 360°.

Ответ: ∠COB = 117°, ∠AOB = 118°, ∠AOC = 125°.