1. A constant $$\alpha=1.4$$. Find the temperature (in degrees Celsius) to which water will cool if the length of the radiator pipe is 140 m. Answer: _______ 2. Having mixed 45% and 97% acid solutions and adding 10 kg of pure water, we obtained a 62% acid solution. If, instead of 10 kg of water, 10 kg of a 50% solution of the same acid were added, we would have obtained a 72% acid solution. How many kilograms of the 45% solution were used to obtain the mixture? Answer: _______ 3. The figure shows the graph of the function of the form f(x) = loga x. Find the value of f(32). Answer: _______ 4. Find the maximum value of the function y = (x² – 3x + 3) · e³-x on the interval [2; 5]. Answer: _______ Do not forget to transfer all answers to the answer sheet No. 1 in accordance with the instructions for completing the work. Check that each answer is recorded in the line with the corresponding task number. Part 2

Задание 1. Охлаждение воды

Это задание относится к разделу физики или термодинамики. К сожалению, без дополнительных данных (начальная температура воды, коэффициент теплоотдачи, площадь поверхности теплообмена и т.д.) невозможно рассчитать конечную температуру охлаждения воды. Формула, которую вы привели, скорее всего, является частью более сложного уравнения теплового баланса или описания процесса теплопередачи.

Ответ: Недостаточно данных для решения.

Задание 2. Смешивание растворов

Это классическая задача на смешивание растворов. Обозначим:

• \( x \) — масса 45%-го раствора кислоты (в кг).
• \( y \) — масса 97%-го раствора кислоты (в кг).

Первое условие:

Смешали \( x \) кг 45%-го раствора и \( y \) кг 97%-го раствора, добавили 10 кг воды, получили 62%-ный раствор.

Общая масса раствора: \( x + y + 10 \) кг.

Масса чистой кислоты в 45%-м растворе: \( 0.45x \) кг.

Масса чистой кислоты в 97%-м растворе: \( 0.97y \) кг.

Масса чистой кислоты в конечном растворе: \( 0.62(x + y + 10) \) кг.

Уравнение: \( 0.45x + 0.97y = 0.62(x + y + 10) \)

\( 0.45x + 0.97y = 0.62x + 0.62y + 6.2 \)

\( 0.97y - 0.62y = 0.62x - 0.45x + 6.2 \)

\( 0.35y = 0.17x + 6.2 \) (1)

Второе условие:

Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-го раствора той же кислоты, получили бы 72%-ный раствор.

Общая масса раствора: \( x + y + 10 \) кг.

Масса чистой кислоты: \( 0.45x + 0.97y + 0.50 imes 10 \) кг.

Уравнение: \( 0.45x + 0.97y + 5 = 0.72(x + y + 10) \)

\( 0.45x + 0.97y + 5 = 0.72x + 0.72y + 7.2 \)

\( 0.97y - 0.72y = 0.72x - 0.45x + 7.2 - 5 \)

\( 0.25y = 0.27x + 2.2 \) (2)

Теперь решаем систему уравнений (1) и (2):

Из (1): \( 0.35y = 0.17x + 6.2 \)

Из (2): \( 0.25y = 0.27x + 2.2 \) | Умножим на \( 0.35/0.25 = 1.4 \) для выравнивания \( y \)

\( 0.35y = 1.4 imes (0.27x + 2.2) \)

\( 0.35y = 0.378x + 3.08 \)

Приравниваем правые части:

\( 0.17x + 6.2 = 0.378x + 3.08 \)

\( 6.2 - 3.08 = 0.378x - 0.17x \)

\( 3.12 = 0.208x \)

\( x = rac{3.12}{0.208} = 15 \)

Ответ: 15 кг.

Задание 3. Значение функции логарифма

Дано:

• Функция: \( f(x) = ext{log}_a x \)
• Найти: \( f(32) \)

Решение:

Из графика видно, что точка \( (4, 2) \) принадлежит графику функции. Подставим её координаты в уравнение функции:

\[ 2 = ext{log}_a 4 \]

По определению логарифма, это означает:

\[ a^2 = 4 \]

Так как основание логарифма \( a \) должно быть положительным и не равным 1, то \( a = 2 \).

Теперь у нас есть полная функция: \( f(x) = ext{log}_2 x \).

Найдем значение \( f(32) \):

\[ f(32) = ext{log}_2 32 \]

Так как \( 2^5 = 32 \), то:

\[ f(32) = 5 \]

Ответ: 5.

Задание 4. Наибольшее значение функции

Дано:

• Функция: \( y = (x^2 – 3x + 3) imes e^{3-x} \)
• Отрезок: \( [2; 5] \)

Найти: наибольшее значение функции на отрезке.

Решение:

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно вычислить значения функции на концах отрезка и в точках, где производная равна нулю.

Найдем производную функции \( y \) по правилу умножения \( (uv)' = u'v + uv' \).

Пусть \( u = x^2 - 3x + 3 \) и \( v = e^{3-x} \).

Тогда \( u' = 2x - 3 \).

Для \( v' \) используем правило дифференцирования сложной функции: \( (e^{f(x)})' = e^{f(x)} imes f'(x) \).

Здесь \( f(x) = 3 - x \), значит \( f'(x) = -1 \).

Следовательно, \( v' = e^{3-x} imes (-1) = -e^{3-x} \).

Теперь найдем \( y' \):

\[ y' = (2x - 3)e^{3-x} + (x^2 - 3x + 3)(-e^{3-x}) \]

\[ y' = e^{3-x} [ (2x - 3) - (x^2 - 3x + 3) ] \]

\[ y' = e^{3-x} [ 2x - 3 - x^2 + 3x - 3 ] \]

\[ y' = e^{3-x} [ -x^2 + 5x - 6 ] \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ e^{3-x} [ -x^2 + 5x - 6 ] = 0 \]

Так как \( e^{3-x} \) всегда больше нуля, то решаем квадратное уравнение:

\[ -x^2 + 5x - 6 = 0 \]

Умножим на -1:

\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]

Корни этого уравнения: \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = 3 \).

Обе эти точки принадлежат нашему отрезку \( [2; 5] \).

Теперь вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках:

1. При \( x = 2 \):

\[ y = (2^2 - 3 imes 2 + 3)e^{3-2} = (4 - 6 + 3)e^1 = 1 imes e = e \]

2. При \( x = 3 \):

\[ y = (3^2 - 3 imes 3 + 3)e^{3-3} = (9 - 9 + 3)e^0 = 3 imes 1 = 3 \]

3. При \( x = 5 \):

\[ y = (5^2 - 3 imes 5 + 3)e^{3-5} = (25 - 15 + 3)e^{-2} = 13e^{-2} = rac{13}{e^2} \]

Сравним полученные значения. \( e approx 2.718 \), \( e^2 approx 7.389 \).

\[ y(2) = e approx 2.718 \]

\[ y(3) = 3 \]

\[ y(5) = rac{13}{e^2} approx rac{13}{7.389} approx 1.759 \]

Наибольшее значение функции равно 3.

Ответ: 3.