1. [6 ұпай]. Фродо мен Сэм Мордорға қарай жолдың бірінші бөлігін өзенмен 9 жылдамдықпен, ал қалған жолды батпақты көлмен үш есе аз жылдамдықпен жүзіп өтті. Егер барлық жолдағы орташа жылдамдық 6 болса, онда батпақты көл бойындағы жол өзен бойындағы жолдан неше есе артық екенін анықтаңыз.

Перевод задания: Фродо и Сэм первую часть пути к Мордор проплыли по реке со скоростью 9, а оставшуюся часть — по болотному озеру со скоростью в три раза меньше. Если средняя скорость на всём пути равна 6, определите, во сколько раз путь по болотному озеру больше пути по реке.

Өзендегі жылдамдық — 9, батпақты көлдегі жылдамдық — \(9:3=3\), орташа жылдамдық — 6.

Өзен бойындағы жолды \(s_1\), батпақты көл бойындағы жолды \(s_2\) дейік. Орташа жылдамдық формуласы бойынша:

\[\frac{s_1+s_2}{\frac{s_1}{9}+\frac{s_2}{3}}=6.\]

Теңдеуді түрлендіреміз: \(s_1+s_2=\frac{2}{3}s_1+2s_2\), сондықтан \(\frac{1}{3}s_1=s_2\). Демек, батпақты көл бойындағы жол өзен бойындағы жолдың үштен біріне тең.

Жауабы: батпақты көл бойындағы жол өзен бойындағы жолдан артық емес; ол 3 есе қысқа.

Перевод решения: Скорость на реке — 9, скорость на болотном озере — \(9:3=3\), средняя скорость — 6. Обозначим длины участков через \(s_1\) и \(s_2\). По формуле средней скорости \(\frac{s_1+s_2}{\frac{s_1}{9}+\frac{s_2}{3}}=6\). Отсюда \(s_1+s_2=\frac{2}{3}s_1+2s_2\), значит, \(s_2=\frac{1}{3}s_1\).

Ответ: путь по болотному озеру не больше пути по реке; он в 3 раза короче.