1) 5 sin x + cos x = 5; 2) 4 sin x + 3 cos x = 6.

Решение:

Данная задача состоит из двух тригонометрических уравнений.

1) \( 5 \sin x + \cos x = 5 \)

1. Приведём уравнение к стандартному виду \( a \sin x + b \cos x = c \). В данном случае \( a = 5 \), \( b = 1 \), \( c = 5 \).
2. Разделим обе части уравнения на \( \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{26} \).
3. \( \frac{5}{\sqrt{26}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{26}} \cos x = \frac{5}{\sqrt{26}} \)
4. Пусть \( \cos \alpha = \frac{5}{\sqrt{26}} \) и \( \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{26}} \). Тогда уравнение примет вид: \( \cos \alpha \sin x + \sin \alpha \cos x = \frac{5}{\sqrt{26}} \)
5. Используем формулу синуса суммы: \( \sin (x + \alpha) = \frac{5}{\sqrt{26}} \)
6. Так как \( \frac{5}{\sqrt{26}} \) больше 1, данное уравнение не имеет решений.

2) \( 4 \sin x + 3 \cos x = 6 \)

1. Приведём уравнение к стандартному виду \( a \sin x + b \cos x = c \). В данном случае \( a = 4 \), \( b = 3 \), \( c = 6 \).
2. Разделим обе части уравнения на \( \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \).
3. \( \frac{4}{5} \sin x + \frac{3}{5} \cos x = \frac{6}{5} \)
4. Пусть \( \cos \beta = \frac{4}{5} \) и \( \sin \beta = \frac{3}{5} \). Тогда уравнение примет вид: \( \cos \beta \sin x + \sin \beta \cos x = \frac{6}{5} \)
5. Используем формулу синуса суммы: \( \sin (x + \beta) = \frac{6}{5} \)
6. Так как \( \frac{6}{5} = 1.2 \) больше 1, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: Оба уравнения не имеют решений.