1.3. $$\int \frac{4x^3 + x^4 - 8x^5}{x^3} dx$$

Решение:

Для решения данного интеграла, мы можем разделить каждый член числителя на знаменатель:

\[ \frac{4x^3 + x^4 - 8x^5}{x^3} = \frac{4x^3}{x^3} + \frac{x^4}{x^3} - \frac{8x^5}{x^3} = 4 + x - 8x^2 \]

Теперь мы можем проинтегрировать полученное выражение:

\[ \int (4 + x - 8x^2) dx \]

Используем правило интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) и константы \( \int c dx = cx + C \):

\[ \int 4 dx + \int x dx - \int 8x^2 dx \]

\[ = 4x + \frac{x^{1+1}}{1+1} - 8\frac{x^{2+1}}{2+1} + C \]

\[ = 4x + \frac{x^2}{2} - 8\frac{x^3}{3} + C \]

Таким образом, окончательный ответ:

\[ 4x + \frac{x^2}{2} - \frac{8x^3}{3} + C \]

Ответ: \( 4x + \frac{x^2}{2} - \frac{8x^3}{3} + C \).