1 2(x+1) + 1 x+2 = 3 x+3 ;

Решение:

Заданное уравнение:

\( \frac{1}{2(x+1)} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x+3} \)

1. Приведём дроби к общему знаменателю \( 2(x+1)(x+2)(x+3) \).
2. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \( 2(x+1)(x+2)(x+3) \) при условии \( x \neq -1, x \neq -2, x \neq -3 \).
3. \( 1 \cdot (x+2)(x+3) + 1 \cdot 2(x+1)(x+3) = 3 \cdot 2(x+1)(x+2) \)
4. Раскроем скобки: \( (x^2 + 3x + 2x + 6) + 2(x^2 + 3x + x + 3) = 6(x^2 + 2x + x + 2) \)
5. \( x^2 + 5x + 6 + 2(x^2 + 4x + 3) = 6(x^2 + 3x + 2) \)
6. \( x^2 + 5x + 6 + 2x^2 + 8x + 6 = 6x^2 + 18x + 12 \)
7. Соберём подобные члены: \( 3x^2 + 13x + 12 = 6x^2 + 18x + 12 \)
8. Перенесём все члены в правую часть: \( 6x^2 - 3x^2 + 18x - 13x + 12 - 12 = 0 \)
9. \( 3x^2 + 5x = 0 \)
10. Вынесем \( x \) за скобки: \( x(3x + 5) = 0 \)
11. Отсюда получаем два возможных решения: \( x = 0 \) или \( 3x + 5 = 0 \).
12. Если \( 3x + 5 = 0 \), то \( 3x = -5 \), \( x = -\frac{5}{3} \).

Проверим условия: \( x = 0 \) и \( x = -\frac{5}{3} \) не равны -1, -2, -3.

Ответ: \( x = 0, x = -\frac{5}{3} \).