1) 16/√3 3) 8/√3 2) 16√3 4) 8/√3 Часть 2 Запишите ответ к заданиям 4 и 5. 4°. К окружности с центром О и радиусом 12 см про- ведена касательная ВС (В — точка касания). Найдите длину отрезка ВС, если ОС = 13 см. 5. На рисунке точки Р и Н — середины сторон, СК — высота треугольника. Найдите площадь треугольника, если РН = 7 см, СК = 12 см. 98 C P H B K D Контрольная работа № 5 Часть 3 Запишите обоснованное решение задач 6 и 7. 6. В треугольнике МNK на стороне MN отмечена точка В, на стороне NK — точка С, причем ВС || MK. Найдите длину стороны МК, если сторона MN равна 12 см, ВМ = 4 см, ВС = 6 см. 7. В ромбе ABCD диагональ АС пересекает высоту ВН, проведенную к стороне AD, в точке К. Найдите дли- ны отрезков ВК и КН, если сторона ромба равна 20 см, а высота равна 12 см. ВАРИАНТ 2 Часть 1 Запишите номера верных ответов к заданиям 1-3. 1°. На каждом из приведенных ниже рисунков изо- бражен параллелограмм, обладающий теми или иными свойствами. Используя данные, приведенные на рисун- ках, укажите номера тех рисунков, на которых изобра- жен прямоугольник. 1) 88° 2) 7 см 40° 7 см

Часть 2

Задание 4

Дано: Окружность с центром О, радиус \( r = 12 \) см. \( BC \) — касательная, \( B \) — точка касания. \( OC = 13 \) см.

Найти: \( BC \).

Решение:

1. Радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, \( \triangle OBC \) — прямоугольный с прямым углом \( \angle OBC \).
2. По теореме Пифагора в \( \triangle OBC \): \( OC^2 = OB^2 + BC^2 \).
3. Подставим известные значения: \( 13^2 = 12^2 + BC^2 \).
4. \( 169 = 144 + BC^2 \).
5. \( BC^2 = 169 - 144 = 25 \).
6. \( BC = \sqrt{25} = 5 \) см.

Ответ: 5 см.

Задание 5

Дано: \( \triangle BCD \). \( P \) и \( H \) — середины сторон. \( CK \) — высота. \( PH = 7 \) см, \( CK = 12 \) см.

Найти: Площадь \( \triangle BCD \).

Решение:

1. \( PH \) — средняя линия \( \triangle BCD \) (по условию \( P \) и \( H \) — середины сторон).
2. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна половине его длины. Значит, \( BD = 2 \cdot PH = 2 \cdot 7 = 14 \) см.
3. Площадь треугольника вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота \).
4. В \( \triangle BCD \) основание — \( BD \), высота — \( CK \).
5. \( S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CK = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 12 = 7 \cdot 12 = 84 \) см².

Ответ: 84 см².

Часть 3

Задание 6

Дано: \( \triangle MNK \). \( B \) — точка на \( MN \), \( C \) — точка на \( NK \). \( BC \parallel MK \). \( MN = 12 \) см, \( BM = 4 \) см, \( BC = 6 \) см.

Найти: \( MK \).

Решение:

1. Так как \( BC \parallel MK \), то \( \triangle NBC \) подобен \( \triangle NMK \) по двум углам (угол \( \angle N \) — общий, \( \angle NBC = \angle NMK \) как соответственные углы при параллельных прямых \( BC \) и \( MK \) и секущей \( MN \)).
2. Из подобия следует соотношение сторон: \( \frac{NB}{NM} = \frac{NC}{NK} = \frac{BC}{MK} \).
3. Найдём длину отрезка \( NB \): \( NB = NM - BM = 12 - 4 = 8 \) см.
4. Подставим известные значения в соотношение: \( \frac{8}{12} = \frac{6}{MK} \).
5. Упростим дробь: \( \frac{2}{3} = \frac{6}{MK} \).
6. Выразим \( MK \): \( MK = \frac{6 \cdot 3}{2} = \frac{18}{2} = 9 \) см.

Ответ: 9 см.

Задание 7

Дано: Ромб \( ABCD \). \( AC \) — диагональ. \( BH \) — высота, \( H \) на \( AD \). \( K \) — точка пересечения \( AC \) и \( BH \). \( AB = 20 \) см, \( BH = 12 \) см.

Найти: \( BK \), \( KH \).

Решение:

1. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. \( BH \) — высота, \( BH = 12 \) см.
2. Площадь ромба \( S_{ABCD} = AB \cdot BH = 20 \cdot 12 = 240 \) см².
3. Диагональ \( AC \) делит ромб на два равных \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADC \).
4. Площадь \( \triangle ABD = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 240 = 120 \) см².
5. В \( \triangle ABD \) \( BH \) — высота к стороне \( AD \). \( AH \) и \( HD \) — отрезки, на которые высота делит сторону.
6. В \( \triangle ABH \) — прямоугольный. \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \). \( 20^2 = AH^2 + 12^2 \). \( 400 = AH^2 + 144 \). \( AH^2 = 400 - 144 = 256 \). \( AH = \sqrt{256} = 16 \) см.
7. \( HD = AD - AH = 20 - 16 = 4 \) см.
8. Диагонали ромба \( AC \) и \( BD \) взаимно перпендикулярны. \( \angle BKC = 90^{\circ} \).
9. Рассмотрим \( \triangle ABH \) и \( \triangle CBK \). \( \angle BAH = \angle KCB \) (как накрест лежащие при \( AB \parallel DC \) и секущей \( AC \)). \( \angle ABH = \angle CBK \) (как накрест лежащие при \( AB \parallel DC \) и секущей \( BH \)). \( \triangle ABH \) подобен \( \triangle CBK \) по двум углам.
10. Из подобия: \( \frac{BK}{BH} = \frac{AB}{BC} = \frac{AK}{CK} \). \( BC = 20 \) см (сторона ромба). \( \frac{BK}{12} = \frac{20}{20} = 1 \) → \( BK = 12 \) см.
11. \( KH = BH - BK = 12 - 12 = 0 \) см.
12. Примечание: Такой случай возможен, если \( \triangle ABC \) — равнобедренный, что не выполняется для ромба. Вернемся к свойству диагоналей.
13. В ромбе \( ABCD \), \( AC \perp BD \). \( K \) — точка пересечения \( AC \) и \( BH \). \( \triangle ABK \) — прямоугольный.
14. В \( \triangle ABH \) — прямоугольный. \( AH = 16 \) см. \( HD = 4 \) см.
15. Рассмотрим \( \triangle ADС \). \( AC \perp BD \). \( BH \perp AD \). \( K \) — точка пересечения \( AC \) и \( BH \). \( \triangle AKB \) подобен \( \triangle AHD \) (прямоугольные, \( \angle BAH \) — общий).
16. \( \frac{AK}{AH} = \frac{BK}{HD} = \frac{AB}{AD} \).
17. \( \frac{BK}{4} = \frac{20}{20} = 1 \).
18. \( BK = 4 \) см.
19. \( KH = BH - BK = 12 - 4 = 8 \) см.

Ответ: ВК = 4 см, КН = 8 см.

ВАРИАНТ 2

Часть 1

Задание 1°

Решение:

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны \( 90^{\circ} \)).

• Рисунок 1: Угол равен \( 88^{\circ} \), что не равно \( 90^{\circ} \). Это не прямоугольник.
• Рисунок 2: Показаны стороны \( 7 \) см и углы \( 40^{\circ} \). Если один угол \( 40^{\circ} \), то противоположный тоже \( 40^{\circ} \), а смежные \( 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \). Это не прямоугольник.

Ответ: На рисунках не изображены прямоугольники.