(((1-1/4)+(1/4-1/5)+(1/5-1/6)+(1/6-1/7)+(1/7-1/8))) = ?

Решение:

Для решения данного выражения, раскроем скобки и произведем вычисления:

\( \left( \left( 1 - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{8} \right) \right) \)

Заметим, что это похоже на телескопическую сумму. Раскроем внутренние скобки:

\( \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} \)

\( \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) = \frac{5 - 4}{20} = \frac{1}{20} \)

\( \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) = \frac{6 - 5}{30} = \frac{1}{30} \)

\( \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{7} \right) = \frac{7 - 6}{42} = \frac{1}{42} \)

\( \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{8} \right) = \frac{8 - 7}{56} = \frac{1}{56} \)

Теперь сложим эти результаты:

\( \frac{3}{4} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} + \frac{1}{56} \)

Можно также заметить, что если раскрыть скобки сразу, то многие члены сократятся:

\( 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} \)

После сокращения получаем:

\( 1 - \frac{1}{8} \)

\( 1 - \frac{1}{8} = \frac{8}{8} - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \)

Ответ: 7/8