0. Решите неравенство log_1/8 (2x + 3) > -3

Решение:

Для решения логарифмического неравенства \( \log_{1/8} (2x + 3) > -3 \) необходимо учесть область определения логарифма и свойство убывающей логарифмической функции, так как основание \( 1/8 \) меньше 1.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ):
   Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: \( 2x + 3 > 0 \).
   \( 2x > -3 \)
   \( x > -3/2 \)
2. Решим само неравенство:
   Поскольку основание логарифма \( 1/8 < 1 \), функция \( y = \log_{1/8} x \) является убывающей. При переходе от логарифмического неравенства к линейному, знак неравенства меняется на противоположный.
   \( 2x + 3 < (1/8)^{-3} \)
   Вычислим \( (1/8)^{-3} \): \( (1/8)^{-3} = 8^3 = 8 \times 8 \times 8 = 64 \).
   Теперь неравенство выглядит так: \( 2x + 3 < 64 \).
3. Решим полученное линейное неравенство:
   \( 2x < 64 - 3 \)
   \( 2x < 61 \)
   \( x < 61/2 \)
   \( x < 30.5 \)
4. Объединим ОДЗ и решение неравенства:
   У нас есть два условия: \( x > -3/2 \) и \( x < 30.5 \).
   Объединяя их, получаем интервал: \( -3/2 < x < 30.5 \).

Ответ: \( x \in \left( -\frac{3}{2}; \frac{61}{2} \right) \).