0,4^{2x} = 0,064;

Решение:

Чтобы решить уравнение \( 0,4^{2x} = 0,064 \), представим обе части уравнения в виде степени с одним основанием.

1. Переведём десятичные дроби в обыкновенные:

\[ 0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]

\[ 0,064 = \frac{64}{1000} = \frac{8 \cdot 8}{1000} = \frac{8}{125} \]

2. Теперь представим основание \( \frac{2}{5} \) и правую часть \( \frac{8}{125} \) в виде степени числа \( \frac{2}{5} \).

\[ \left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125} \]

3. Подставим обратно в уравнение:

\[ \left(\frac{2}{5}\right)^{2x} = \left(\frac{2}{5}\right)^3 \]

4. Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

\[ 2x = 3 \]

5. Находим \( x \):

\[ x = \frac{3}{2} \]

Ответ: \( x = \frac{3}{2} \).